浙江专用2024高考数学二轮复习专题六计数原理与古典概率第1讲计数原理二项式定理教案.docVIP

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第1讲计数原理、二项式定理

两个计数原理

[核心提炼]

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

假如每种方法都能将规定的事务完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；假如须要通过若干步才能将规定的事务完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．

[典型例题]

(1)如图，小明从街道的E处动身，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参与志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()

A．24B．18C．12D．9

(2)甲、乙两人进行乒乓球竞赛，先赢三局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的状况(各人输赢局次的不同视为不同状况)共有()

A．10种B．15C．20种D．30种

【解析】(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.

(2)首先分类计算假如甲赢，比分3∶0是1种状况；比分3∶1共有3种状况，分别是前3局中(因为第四局确定要赢)，第一或其次或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种状况，就是说前4局2∶2，最终一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种状况．甲一共有1＋3＋6＝10种状况获胜．所以加上乙获胜状况，共有10＋10＝20种状况．

【答案】(1)B(2)C

eq\a\vs4\al()

应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于困难的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

[对点训练]

1．如图，某老师要从A地至B地参与高考教研活动：

路途Ⅰ：A到B有三条路途；

路途Ⅱ：A到C后再到B，其中A到C有1条路途，C到B有2条路途；

路途Ⅲ：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路途，则该老师的选择路途种数共有()

A．10 B．11

C．13 D．24

解析：选C.按路途Ⅰ，共有3种选择；按路途Ⅱ，分2步可以到达B，共有1×2＝2种选择；按路途Ⅲ，分3步，共有2×2×2＝8种，故共有3＋2＋8＝13种选择．

2．假如一个三位正整数“a1a2a3”满意a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么全部凸数的个数为()

A．240 B．204

C．729 D．920

解析：选A.分8类，

当中间数为2时，有1×2＝2(个)；

当中间数为3时，有2×3＝6(个)；

当中间数为4时，有3×4＝12(个)；

当中间数为5时，有4×5＝20(个)；

当中间数为6时，有5×6＝30(个)；

当中间数为7时，有6×7＝42(个)；

当中间数为8时，有7×8＝56(个)；

当中间数为9时，有8×9＝72(个)．

故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

排列与组合

[核心提炼]

名称

排列

组合

相同点

都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复

不同点

①排列与依次有关；

②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列依次完全相同

①组合与依次无关；

②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同

[典型例题]

(1)(2024·高考浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答)

(3)(2024·嘉兴市高考模拟)动点P从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A动身，沿着棱运动到顶点C1后再到点A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路途为“最佳路途”，则“最佳路途”的条数为________(用数字作答)．

【解析】(1)若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.

(2)从8人