164图乘法53课件讲解.pptx

16.4图乘法

16.4图乘法

16.4图乘法在上节用虚功原理（积分法）计算梁和刚架的位移中，我们通过下列形式的积分计算结构的位移：其中和M分别是虚拟状态与实际状态的弯矩方程,为函数形式表达。对于梁和刚架以及组合结构（中的梁式杆）,当荷载比较简单、变化较少时，用积分法计算十分方便。但是，如果荷载较多,变化复杂时,杆件就需要分多段求弯矩方程，然后进行分段积分计算,此时计算将会十分繁琐。为了使这种位移计算实现简化，本节介绍图乘法。

16.4图乘法1.图乘法的条件：应用图乘法的条件是（1）杆件的轴线为直线；（2）杆件的截面不变，EI为常数；（3）实际状态的弯矩M图和虚拟状态的弯矩图的两个图形中至少有一个为直线。对于梁和刚架这两种结构，通过处理后，每一杆（段），都能够满足上述条件。

16.4图乘法2．图乘法的公式如图所示，设AB为结构中满足图乘法三个条件的相关计算式的积分区间的直杆段，其中实际状态的弯矩图M图为任意形状，虚拟状态的弯矩图图为直线；在AB段，M图的形心为C，面积为?F；图中对应于C点的纵坐标为。

16.4图乘法设坐标系如图，取图直线与x轴的交点O为坐标原点并设该直线的倾角为?，则，这里tan?为常数。由于EI均为常数，故它们都可以提到积分号前面去。于是

16.4图乘法由于是AB段M图对y轴的面积静矩，这里?F和xc分别是M图的面积及其形心C到y轴的距离。于是就有：

16.4图乘法由此得到梁与刚架用图乘法求位移的计算公式：式中：?F为某一杆段在实际状态荷载作用下的弯矩M图的面积，为实际状态荷载作用下的弯矩M图的形心所对应的虚拟状态的弯矩图图的弯矩竖标值，EI为杆段的抗弯刚度。

16.4图乘法在积分法中，由于是用两个状态的弯矩表达式（方程）进行计算，所以直接有正负结果，而在图乘法中，出现的是弯矩图的面积和竖标相乘，所以应注意图乘结果的正负。当实际状态荷载作用下的弯矩M图与虚拟状态的弯矩图图在基线的同一侧时，图乘结果取正，否则取负。基线一般为杆轴线，或者是区段叠加法作图的起始线。当某杆段的两项弯矩图都是直线图形时，面积与竖标的乘积可以互换，即面积为虚拟状态的弯矩图图的面积，竖标为虚拟状态的弯矩图图的形心所对的实际状态荷载作用下的弯矩M图的竖标。

16.4图乘法3．常用图形的面积及形心位置直杆弯矩图常常是由一些简单的几何图形组成的,图16－16给出了一些常用图形的面积以及它们的形心的位置,掌握了这些图形的面积及形心位置,才能真正达到应用式(16－10)简化积分计算的目的。

16.4图乘法标准二次抛物线（三种形式）

16.4图乘法了解：标准三次抛物线在上面图中,所谓抛物线“顶点”指的是抛物线的极值点。顶点处的切线与基线平行。图中的四条抛物线的顶点均位于区间的端点或中点,这样的抛物线与基线围成的图形称为标准抛物线图形。图中的抛物线称为“标准”抛物线正是这个意思。在用图乘法计算位移时，一定要注意标准图形与非标准图形的区别。

16.4图乘法4．应用图乘法计算梁和刚架的位移用图乘法计算梁和刚架的位移,一般先要对梁和刚架进行适当的分段，使图乘法的三个条件在每一段上都得到满足；其次，在分段计算时，如果实际状态的弯矩M图的图形不是标准图形，则还要对它应用区段叠加法进行处理，使所得到的每一块图形都是面积已知和形心位置确定的标准图形。

16.4图乘法例如在右图中，M图为二次抛物线却不是标准图形，可将它分为一个三角形和一个抛物线图形，这两个“子图形”都是标准图形，其中抛物线图形以三角形的斜边为基线，抛物线上对应于基线中点处的切线平行于基线，因此它的面积和形心可按图标准抛物线的情况来计算和确定，即ω=2lh/3，形心C2的水平投影位于杆段的中点。具体的积分计算如下：

16.4图乘法用图乘法求梁与刚架在荷载作用下的位移的步骤：1.将原荷载作用状态作为实际状态，针对所求位移补充建立虚拟状态（在所求位移点沿所求位移方向作用虚拟单位力），并求出两个状态的支反力；2.分别作出两个状态的弯矩图；3.代入公式计算。

16.4图乘法例：如图所示的简支梁，承受均布荷载q作用，试求A端截面的转角?A与梁中点C的竖向位移Δcy。已知梁的抗弯刚度EI=常数。解：（1）求A端截面的转角?A在A端施加单位力偶作为虚拟状态，分别作M图和图，如图所示。

16.4图乘法观察两个弯矩图，完全满足图乘法的条件，所以可以直接代公式计算。代入图乘法公式计算

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