利用均值不等式求最值课件.pptVIP

*****************课程导入欢迎大家学习利用均值不等式求最值。在接下来的课程中，我们将深入探讨均值不等式的原理和应用。通过学习，我们将掌握运用均值不等式解决各种优化问题的技巧。什么是均值不等式11.算术平均数算术平均数是指将所有数据加总后除以数据的总数，得到的结果就是算术平均数，也称为平均数。22.几何平均数几何平均数是指将所有数据乘积开方，开方次数等于数据的个数，得到的结果就是几何平均数。33.均值不等式均值不等式是指在一定条件下，算术平均数大于或等于几何平均数，并且等号成立的条件是所有数据都相等。算术平均数的性质非负性算术平均数永远是非负的，当且仅当所有数字都为零时，算术平均数才为零。单调性如果一组数字都增加，那么它们的算术平均数也会增加。加权平均数可以为每个数字分配权重，以反映其在平均数中的重要性。比较大小算术平均数可以用来比较不同组数字的大小。几何平均数的性质定义几何平均数是n个非负数的乘积的n次方根。等式当且仅当所有数相等时，几何平均数等于算术平均数。不等式几何平均数总是小于或等于算术平均数。调和平均数的性质定义调和平均数是倒数的算术平均数的倒数。用于计算一组数据中各个数据的倒数的平均值，再取倒数，得到这组数据的调和平均数。特点调和平均数对较小的数值比较敏感，更能反映数据中较小数值的影响。当数据集中存在极端值时，调和平均数更能反映数据中较小数值的真实水平。均值不等式的推广1推广形式均值不等式可推广到多个变量的情况，例如，对于n个非负数a1,a2,...,an，有(a1+a2+...+an)/n≥√[n](a1a2...an)，当且仅当a1=a2=...=an时等号成立。2权重形式可以引入权重，例如，对于n个非负数a1,a2,...,an，以及n个正数w1,w2,...,wn，有(w1a1+w2a2+...+wnan)/(w1+w2+...+wn)≥√[w1+w2+...+wn](a1^w1a2^w2...an^wn)，当且仅当a1=a2=...=an时等号成立。3柯西-施瓦茨不等式均值不等式是柯西-施瓦茨不等式的特例，柯西-施瓦茨不等式更一般，适用于任意实数，而均值不等式只适用于非负数。应用举例一已知a,b均为正数，且a+b=10,求a*b的最大值由均值不等式可知，a*b≤[(a+b)/2]^2=25,当a=b=5时，a*b取最大值25应用举例二梯形面积已知梯形的上底为a，下底为b，高为h。求梯形的面积。长方形周长已知长方形的长为a，宽为b。求长方形的周长。圆形面积已知圆的半径为r。求圆形的面积。应用举例三在等式中，变量的乘积是常数。目标是最大化或最小化变量的和。应用均值不等式，可以轻松地求解该问题的最值。应用举例四求证：对于任意的正数a,b,c,满足a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2≥1/3.利用均值不等式，我们可以将a^2+b^2+c^2表示为：(a^2+b^2+c^2)/3≥[(a+b+c)/3]^2=1/9.因此，a^2+b^2+c^2≥1/3成立。这就是利用均值不等式求解不等式的一种常用方法。应用举例五求函数y=1/x+x(x0)的最小值。利用均值不等式，可得1/x+x≥2√(1/x*x)=2当且仅当1/x=x时，即x=1时，等号成立。因此，函数y=1/x+x(x0)的最小值为2。应用举例六已知a0,b0,求证：a+b≥2√ab.证明：根据均值不等式，我们有：(a+b)/2≥√ab，所以a+b≥2√ab.应用举例七最大面积已知矩形的周长为20cm，求该矩形面积的最大值。最小成本某工厂要建造一个长方形的仓库，仓库的面积为100平方米，问仓库的长和宽各为多少时，建造仓库的成本最低。最短距离一条河宽100米，一个人要从河岸的A点走到对岸的B点，然后沿河岸走到C点，问此人应选择怎样的路线才能使总的路程最短？应用举例八山峰高度已知山峰高100米，一名登山者从山脚爬到山顶，再从山顶回到山脚。求登山者在整个过程中爬行的路程和位移。日出时间已知太阳升起时间为6:00，落下时间为18:00，求太阳在一天中照射地球的时间。应用举例九求函数f(x)=x^2-4x+5的最小值。利用均值不等式：2√(x^2)(5-4x)≤x^2+(5-4x)整理得：2√(5x^2-4x^3)≤x^2