专题20有关几何最值存在型压轴问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【全国通用】.pdfVIP

备战2021年中考数学经典题型讲练案（全国通用）

专题20有关几何最值存在型压轴问题

【方法指导】

本专题原创编写的是几何最值问题，涉及到的有三角形中的几何最值、四边形中的几何最值、圆中的几

何最.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和

选择正确的解题方法．中考中，此类问题常考的模型和借助的方法有：两点之间线段最短、垂线段最短、

将军饮马、胡不归模型、翻折、对称、点到圆的举例、函数最值等.

【题型剖析】

【类型1】三角形中的几何最值问题

【例1】（2020•德阳）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动

点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）

A．2B．22―2C．22+2D．22

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝42，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半

径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．

【解析】∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，

∴斜边AB＝42，

∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，

∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，

当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

1

∴CM=AB＝22，

2

∵PC＝2，

∴PM＝CM﹣CP＝22―2，

故选：B．

【变式1-1】（2020•南通）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，

直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）

A．6B．22C．23D．32

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即

可．

【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△AHB中，

∵∠ABC＝60°，AB＝2，

∴BH＝1，AH=3，

在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，

22

∴AC=2+2=(3)+(3)=6，

∵点D为BC中点，

∴BD＝CD，

在△BFD与△CKD中，

∠=∠=90°

∠=∠，

=

∴△BFD≌△CKD（AAS），

∴BF＝CK，

延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，

可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，

在Rt△ACN中，AN＜AC，

当直线l⊥AC时，最大值为6，

综上所述，AE+BF的最大值为6．

故选：A．

【变式1-2】（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是

四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为33―2．

【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，

交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．

【解析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，

交CD于G，则OM+ME≥OF．

∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，

1

∴OM=AD＝2，

2

∵AB∥CD，

∴∠GCF＝∠B＝60°，

∴∠DGO＝∠CGF＝30°，

∵AD＝BC，