2024届河北省石家庄市部分重点高中高三上学期期末考试数学试题（解析版）(1).docx

高级中学名校试卷

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河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末

数学试题

一?选择题

1.复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C第三象限 D.第四象限

【答案】B

【解析】由题意知，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限．故B正确.

故选：B.

2.若集合，则集合的子集的个数为（）

A.2 B.3 C.4 D.8

【答案】C

【解析】，

所以集合A的子集的个数为4．

故选：C.

3.已知直线，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当时，，解得或．

当时，与重合，不符合；

当时，与不重合，符合，

故“”是“”的充要条件．

故选：C

4.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】，故．

故选：D.

5.已知分别是椭圆的左?右焦点，是椭圆上一点．若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为，则，

因为，所以，解得，即椭圆的离心率为．

故选：A.

6.在等边中，，则向量在向量上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题可知

，

，所以向量在向量上的投影向量为．

故选：B

7.某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意作图如下：

由题设可知该圆锥的高．设在该圆锥中内接一个高为的圆柱，

该圆柱的底面半径为，由，则，即，所以，

故该圆柱的侧面积，

当时，侧面积取得最大值．

故选：C.

8.已知是圆上的一点，是圆上的一点，直线，过点作与的夹角为的直线，交于点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设点到直线的距离为，则，所以．

因为的最小值为坐标原点到的距离减去，

所以的最小值为，则的最小值为．故C正确.

故选：C.

二?多选题

9.已知，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】对A、B：因为，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；

对C：若，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故C正确.

对D：若，则，所以，

由及，可知，则当，即时，，故D正确.

故选:ACD．

10.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）

A. B.

C. D.

【答案】AB

【解析】，故A正确；

故B正确；

，故C错误；

．故D错误；

故选：AB.

11.已知函数，且对恒成立，则（）

A.

B.的图象关于点对称

C.若方程在上有2个实数解，则

D.的图象与直线恰有5个交点

【答案】BCD

【解析】对于A，因为对恒成立，所以的图象关于直线对称，

则，即，解得，故A错误；

对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确；

对于C，当时，，

因为在上有2个实数解，所以，解得，故C正确；

对于D，直线经过点与，

而与分别是函数的零点与其图象的最高点，

如图所示：

结合图象可知的图象与直线恰有5个交点，故D正确.

故选：BCD．

12.在边长为1的正方体中,动点满足．下列说法正确的是（）

A.四面体的体积为

B.若，则的轨迹长度为

C.异面直线与所成角的余弦值的最大值为

D.有且仅有三个点，使得

【答案】AC

【解析】如图所示，

连接，

由，

可得点的轨迹在内（包括边界）．

因为平面平面，

所以，

故A正确．

易知平面，设与平面相交于点．

由于，

则点到平面的距离为．

若，则，

即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

如图所示，

在中，，，设，

由余弦定理得，解得，

则，

所以的轨迹长度为，故B错误．

因为，所以为异面直线与所成的角，

则，所以，故C正确．

由三垂线定理可知，又平面，要使得，

则点在以为直径的圆上，所以存在无数个点，使得，故D错误．

故选：AC.

三?填空题

13.已知是等比数列的前项和，，则__________．

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，则，

由，可得，即，所以．

故答案为：

14.点到直线的距离为1，且与圆相切，写出一个满足条件的的方程：__________．

【答案】（或，填其中一个即可）

【解析】圆可化为．

设，则．以为圆心，1为半径作圆，

以为圆心，2为半径作圆，点到直线的距离为1，即直线是圆的切线，

又这两圆相交，所以这两圆有2条公切线，即符合条件的直