2024年中考数学精讲考点---提分微专题6 全等三角形的六大模型.docx

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提分微专题6全等三角形的六大模型

模型1平移型

模型分析把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形.图1,图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型全等三角形的试题中,常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1,若BE=CF,则BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如图2,若BE=CF,则BE-CE=CF-CE,即BC=EF.

1.如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.若DE=3,CE=4,则AD+BC=.?

2.如图,B,E,C,F四点在同一条直线上,BE=CF,AB=DE,且AB∥DE,判断线段AC,DF的关系并证明.

模型2轴对称(翻折)型

模型分析将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称为翻折型全等三角形.此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等.

3.如图,在菱形ABCD中,E,F分别为边AD,CD上的点,且AE=CF,连接AF,CE交于点G,且点G在对角线BD上.求证:∠DGE=∠DGF.

4.如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.

(1)不添加辅助线,找出图中其他的全等三角形.

(2)求证:CF=EF.

模型3旋转型

模型分析将三角形绕公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时,如图1,涉及对顶角相等;如图2,涉及等角加(减)等角的条件.

5.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.求证:△ABC≌△DEC.

6.如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:AD=AE.

模型4一线三垂直型

模型分析常用三个垂直作条件进行角度等量代换,即同(等)角的余角相等,相等的角就是对应角,证三角形全等时必须还有一组边相等.

如图1(变形前),已知:AB⊥BC,DE⊥CE,AC⊥CD,AB=CE.

结论:①∠A=∠DCE,∠ACB=∠D;②BE=AB+DE;③连接AD,△ACD是等腰直角三角形.

图1

如图2(变形前),已知:AB⊥BC,AE⊥BD,CD⊥BD,AB=BC.

结论:①∠A=∠DBC,∠ABE=∠C;②DE=AE-CD.

图2

7.如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,点B,D到直线a的距离分别为1,3,则正方形的边长为()

A.10

B.23

C.4

D.5

8.如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F,求证:AB=EF.

模型5一线三等角型

模型分析1.两个三角形在直线同侧,点P在线段AB上.

已知:∠1=∠2=∠3,AP=BD,结论:△CAP≌△PBD.

2.两个三角形在直线异侧,点P在AB(或BA)的延长线上.

已知:∠1=∠2=∠3,CP=PD,结论:△CAP≌△PBD.

9.如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别为AB,BC,AC上的点,∠DEF=60°,BD=CE,求证:BE=CF.

10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在△ABC的三边上,且∠B=∠1,BD=CF.求证:△EBD≌△DCF.

11.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l的垂线,点E,F为垂足,连接BF.

(1)求证:AE=DF.

(2)若AE=6,BF=229,则△ABF的面积为.?

模型6手拉手模型

模型分析如图,在△OAB中,OA=OB,在△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,连接AC,BD交于点E.简记:双等腰,共顶点,顶角相等,旋转得全等.

则(1)△AOC≌△BOD(SAS);(2)AC=BD;(3)两条拉手线AC,BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补.

12.如图,四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形,连接AG,CE.求证:AG=CE.

13.如图,△ADC与△EDG都为等腰直角三角形,连接AG,CE并相交于点H,AG交CD于点O.

(1)求证:AG=CE.

(2)求∠CHA的度数.

【参考答案】

1.7

2.AC=DF且AC∥DF.证明略

3.证明略

4.(1)△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF(2)证明略

5.证明略

6.证明略

7.A

8.证明略

9.证明略

10.证明略

11.(1)证明略(2)8

12.证明略

13.(1)证明略(2)∠CHA=90°