3.4 函数的奇偶性和周期性-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲）【含答案解析】.docxVIP

3.4函数的奇偶性和周期性

【考点梳理】

1．奇、偶函数的概念

(1)偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

(2)奇函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

2．奇、偶函数的图象特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

3．具有奇偶性函数的定义域的特点

具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件．

4．周期函数的概念

(1)周期、周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

5．函数奇偶性与单调性之间的关系

(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数；

(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数．

6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)

奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

考点一函数的奇偶性

【例题】（1）下列函数中为偶函数的是（???????）A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A，函数为奇函数，故A不符题意；对于B，函数，因为，故函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数，因为，所以函数为奇函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，

则函数为非奇非偶函数，故D不符题意，故选：B.

（2）已知函数为偶函数，且，则（???????）

A．1 B．3 C．4 D．7

【答案】C

【解析】由偶函数的性质得，故选：C.

（3）函数为上的奇函数，时，，则（???????）

A． B．2 C． D．6

【答案】C

【解析】时，，故，又函数为上的奇函数，故，故选：C.

（4）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（???????）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】由得：，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，故可解得：，故选：B.

（5）已知函数是偶函数，则常数的值为．【答案】

【解析】易知函数定义域为，函数是偶函数，对定义域内每一个都成立，，，

对定义域内每一个都成立，，即.

（6）是偶函数，其定义域为，则等于（???????）

A．1 B． C． D．01

【答案】B

【解析】因为是偶函数，其定义域为，所以，可得，定义域为，所以，由可得：对于恒成立，所以，可得，所以，故选：B.

【变式】（1）下列函数为奇函数的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；

对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误，故选：B.

（2）已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（???????）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

【答案】C

【解析】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以，故选：C.（3）若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（???????）

A．10 B．5 C．3 D．2

【答案】B

【解析】函数是定义在上的偶函数，所以，且，所以，

所以，所以，故选：B.

（4）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（???????）．

A． B．2 C． D．1

【答案】D

【解析】由奇函数的性质可知???a=2，，故选：D.

（5）已知函数是奇函数，则．

【答案】1

【解析】函数是奇函数，，即恒成立，即恒成立，，故答案为：．

（6）已知函数，若，则（???????）

A．4 B．5 C．7 D．

【答案】A

【解析】构建在R上为奇函数，则，即，则，故选：A．

考点二函数的周期性

【例题】（1）下列函数是周期函数的有（???????）

①???????②???????③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③

【答案】C

【解析】易得和是周期函数，不是周期函数，故选：C.

（2）已知是以2为周期的函数，且，则（???????）

A．1 B．-1 C． D．7

【答案】A

【解析】因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即，所以，故选：A.

（3）若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（???????）

A．-1 B．-