2024年中考数学精讲考点---提分微专题8 几何最值问题.docx

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提分微专题8几何最值问题

第一步方法训练

方法一利用垂线段最短求最值

1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D.BC=9,BD=6,点E在AB上,连接DE,则DE的最小值为.?

2.如图,M,N分别是矩形ABCD的边BC和对角线AC上的动点,连接AM,MN,AB=3,BC=4,则AM+MN的最小值为.?

方法二利用三角形三边关系求最值

3.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE交BC于点D,垂足为E,M为DE上任意一点,BA=3,AC=4,BC=6,则△AMC周长的最小值为()

A.7B.6C.9D.10

4.如图,平行四边形ABCD的顶点A,D分别在直角∠MON的两边OM,ON上运动(不与点O重合),对角线AC,BD相交于点P,连接OP,若OP=5,则平行四边形ABCD周长的最小值为.?

方法三利用两点之间线段最短求最值

5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,P是对角线BD上一动点,E是BC的中点,连接PA,PE,求PA+PE的最小值.

6.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=140°,E,F分别为BC和CD上的动点,连接AE,AF,EF.当△AEF的周长最小时,求∠EAF的度数.

7.如图,在平行四边形ABCD中,BD⊥AD,AB=2AD,E是AB的中点,P是边AD上的一动点,若AD=2,求PE+PB的最小值.

第二步综合应用

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=7,BD是∠ABC的平分线,P,N分别是BD,AC边上的动点,点M在BC上,且BM=1,连接PN,PM,求PM+PN的最小值.

方法分析

情形1求直线l外一定点A到直线l上一动点P的最小距离.

辅助线作法:过点A作AP⊥直线l.

结论此时AP为垂线段,点A到点P的距离最小.

情形2P是∠AOB内部一定点,M,N分别是OA,OB上的动点,求PN+MN的最小值.

辅助线作法:①找线段和中的定点P;②找两条线段中公共动点所在的直线OB;③作定点P关于公共动点所在的直线OB的对称点P;④过对称点作另一个动点所在直线OA的垂线PM⊥OA.

结论PN+MN的最小值为PM(垂线段最短).

方法分析

如图1,AB为定线段,C为平面内一动点.

结论①如图2,当点C在线段AB上时,AC+BC的值最小,最小值为AB的长;AC的值最小,最小值为AB-BC的长.

②如图3,当点C在线段AB的延长线上时,AB+BC的值最大,最大值为线段AC的长.

方法分析

1.“两点一线”型(一条定线+两个定点)

两定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小.

解题思路:将两定点同侧转化为异侧问题.

?PA+PB的最小值为AB的长度.

2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,DE平分∠ADC,点P在DE上,连接PA,PB,求AP+PB的最小值.

3.如图,在等边△ABC中,AB=4,点E在边BC上,点F在∠ACB的平分线CD上,CE=CF,求AE+AF的最小值.

2.“一点两线”型(两条定线+一个定点)

周长最小问题:P是∠AOB内部的一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN的周长最小.

解题思路:要使△PMN的周长最小,即PM+PN+MN的值最小.根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可.

?△PMN固长的最小值为PP″的长度

【参考答案】

第一步1.32.245

5.PA+PE的最小值为22

6.证明略

7.PE+PB的最小值为10

第二步

1.PM+PN的最小值为3

2.AP+PB的最小值是25

3.AF+AE的最小值为42

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