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丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

最优化有效集法

最优化有效集法

介绍

最优化有效集法是一种常用的非线性规划求解方法，其基本思想是将

非线性规划问题转化为一系列线性规划子问题，并通过逐步削减可行

解空间的方式逼近最优解。本文将详细介绍最优化有效集法的原理、

算法流程及应用。

原理

最优化有效集法的核心思想是通过削减可行解空间来逼近最优解，以

此实现对非线性规划问题的求解。具体而言，该方法采用了以下两个

关键概念：

1.有效集

在非线性规划问题中，所有满足约束条件的点构成了可行解空间。而

其中一部分点可以被称为“有效点”，即它们满足所有约束条件，并

且在目标函数上具有更小的值。因此，如果我们能够找到这些“有效

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点”，就可以将可行解空间缩小到更小的范围内。

2.削减法则

削减法则是指，在每一次迭代过程中，我们都会使用当前已知的“有

效点”来计算一个新的“更优”的“有效点”，并将这个新点加入到

当前已知的“有效集”中。同时，我们还需要根据新得到的“更优”

点，削减掉当前可行解空间中的一部分点，以便更快地逼近最优解。

算法流程

基于以上原理，最优化有效集法的具体算法流程如下：

1.初始化

首先，我们需要选择一个合适的初始点，并将其作为“有效集”中的

第一个点。同时，我们还需要确定一个合适的步长参数（如牛顿步长、

梯度步长等），以便在迭代过程中计算新的“更优”点。

2.计算新“有效点”

接下来，我们使用当前已知的“有效集”中所有点来计算一个新的

“更优”的“有效点”。具体而言，我们可以采用以下方法之一：

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-牛顿法：利用目标函数及其导数构造二次模型，并求出该模型在当前

已知的“有效集”上取得极小值时对应的参数。

-梯度法：利用目标函数及其梯度构造一次模型，并求出该模型在当前

已知的“有效集”上取得极小值时对应的参数。

-其他方法：如拟牛顿法、共轭梯度法等。

3.削减可行解空间

得到新的“更优”点后，我们需要根据其更新当前已知的“有效集”，

同时削减可行解空间。具体而言，我们可以采用以下方法之一：

-线性规划法：将当前已知的“有效集”及新得到的“更优”点作为线

性规划问题的约束条件，并求解该线性规划问题，以得到当前可行解

空间的一个更小的子空间。

-其他方法：如二次规划法、梯度投影法等。

4.判断收敛

在每一次迭代过程中，我们需要判断当前已知的“有效集”是否满足

一定的收敛条件。如果满足，则算法停止，并返回最优解；否则，继

续进行下一轮迭代。

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应用

最优化有效集法是一种广泛应用于非线性规划求解中的方法，其主要

优点包括：

1.可以适用于各种类型的非线性规划问题。

2.算法流程简单、易于实现。

3.收敛速度较快，效率较高。

4.可以通过调整步长参数等方式来控制算法精度和收敛速度。

因此，在实际应用中，最优化有效集法被广泛应用于各种领域，如工

程设计、金融投资、运筹学等。例如，在工程设计中，可以利用该方

法对复杂机械结构进行优化设计；在金融投资中，可以利用该方法对

投资组合进行优化配置；在运筹学中，可以利用该方法对生产过程进

行优化调度等。

结论

最优化有效