2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市海淀区中央民族大学附中高二（上）期中

数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，E，F分别是长方体ABCD?A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，则AB+CF等于(????)

A.AD′

B.AC′

C.DE

D.AE

2.直线x+y+3=0的倾斜角为

A.30° B.45° C.60° D.135°

3.已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为(????)

A.12π B.15π C.36π D.45π

4.在空间直角坐标系中，点A(1,?2,3)关于y轴的对称点为B，则|AB|=(????)

A.210 B.213 C.

5.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(????)

A.若m⊥α，α⊥β，则m//β B.若α∩β=l，l//m，则m//β

C.若m?α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，α//β，则m⊥β

6.已知向量a=(1,0,1)，b=(?2,2,1)，c=(3,4,z)，若a，b，c共面，则z等于

A.?9 B.?5 C.5 D.9

7.在正方体ABCD?A1B1C1D1

A.30° B.45° C.60° D.120°

8.已知平面α，β，直线l，b，如果α⊥β，且α∩β=l，M∈α，M∈b，则l⊥b是b⊥β的(????)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P为棱DD1

A.S△A1D1Q=2S△

10.如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A1B1C1D1E1F1.若其中三根柱子AA1，

A.47m

B.48m

C.49m

D.50m

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知a=(1,0,?1)，b=(2,1,1)，则3a+b

12.已知平面α的法向量为(2,?4,?2)，平面β的法向量为(?1,2,k)，若α//β，则k=______．

13.如图，在三棱锥O?ABC中，D是BC的中点，若OA=a，OB=b，OC=

14.已知P(2,3)是直线l上一点，且n=(1,?2)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为______．

15.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面AA1P⊥平面BB1E.给出下列四个结论：

①△AA1P的面积的最大值为5；

②满足使△AA1P的面积为2的点P有且只有4个；

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

已知△ABC的顶点坐标分别是A(?1,5)，B(?2,?1)，C(4,3)，M为BC边的中点．

(1)求直线AB的斜率；

(2)求中线AM的方程．

17.(本小题12分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点.求证：

(Ⅰ)BD//

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点．

(Ⅰ)求证：平面ADE⊥平面PCD；

(Ⅱ)求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，AB=AD=2，DC=PD=4，点N是PD的中点，直线PC交平面ABN于点M．

(1)求证：点M是PC的中点；

(2)求二面角A?MN?P的大小

(3)求点P到平面ABMN的距离．

20.(本小题12分)

在三棱锥P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．

(Ⅰ)求证：AC⊥PM；

(Ⅱ)求二面角C?PA?B的余弦值；

(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N使得平面CMN⊥平面PAB？若存在，求出PNPB的值，若不存在，说明理由．

21.(本小题12分)

n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,…,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2,…,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,…,an)，若|ai|=1，i=1，2…n，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,…,an)，b=(