94圆轴扭转时横截面上的应力与变形12课件讲解.pptx

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形

9.4圆轴扭转时

横截面上的应力与变形

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形通过前面的讨论，我们己解决了轴的内力计算问题，本节将进一步研究圆轴扭转时横截面上的应力和变形。一、圆轴扭转时横截面上的应力分析圆轴扭转横截面上的应力时，需要从几何、物理和静力学三个方面来讨论。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形（一）变形几何关系为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在横截面上的分布规律。为此，首先可通过试验观察其表面的变形现象。取一根圆轴，实验前先在它的表面上划两条圆周线和两条与轴线平行的纵向线。实验时，在圆轴两端施加一对力偶矩为M的外力偶，使其产生扭转变形，如图所示。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形在变形微小的情况下，可以观察到如下现象：⒈两条纵向线均倾斜了相同的角度，使原来轴表面上的小方格变成了平行四边形。⒉各圆周线均绕圆轴的轴线转动了一个角度，但其大小、形状和相邻圆周线的距离均保持不变。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形根据观察到的这些现象，我们可以作出如下假设：各横截面在圆轴扭转变形后仍保持为平面,形状、大小都不变,半径仍为直线,只是绕轴线转动了一个角度，横截面间的距离均保持不变（称为平面假设）。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形根据平面假设推论，可得到以下结论：1）由于相邻截面间相对地转过了一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故截面上有剪应力存在。2）由于半径的长度不变，故圆轴无径向应力，且剪应力方向必与半径垂直。3）由于相邻截面的间距不变，所以横截面上没有正应力。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形为了分析剪应力在横截面上的分布规律，我们从轴中取出长为dx微段来研究。在力偶的作用下,截面n-n与m-m的相对转角为d?,圆轴表面所画的矩形ABCD变为平行四边形ABC/D/,其变形程度可用原矩形直角的改变量γ表示,称为剪应变（也称为切应变）。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形现再用过轴线的两径向平面OO/AD和OO/BC切出如图所示楔形块，从图中可见，在小变形下，圆轴表面层的剪应变为同样离圆心为ρ处的剪应变为(a)

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形上式中，表示扭转角?沿轴线x的变化率，称为单位长度的扭转角。（或简称单位扭转角）对某一个给定平面来说，是常量，所以剪应变γρ与ρ成正比，即剪应变的大小与该点到圆心的距离成正比。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形（二）物理关系根据剪切胡克定理，当剪应力τ不超过材料的剪切比例极限τP时，横截面上距圆心为ρ处的剪应力τP与该处的剪应变γρ成正比，即τρ=Gγρ将(a)式代入上式，得(b)

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形上式表明：横截面上任一点处的剪应力的大小,与该点到圆心的距离ρ成正比。也就是说,在截面的圆心处剪应力为零,在周边上剪应力最大。在半径都等于ρ的圆周上各点处的剪应力τρ的数值均相等。横截面的剪应力沿着半径按直线规律分布。剪应力的分布规律如右图所示，剪应力的方向与半径垂直。

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形（三）静力学关系式(b)虽然表明了剪应力在截面上的分布规律，但其中尚未知，因此必须根据静力平衡条件，建立剪应力与扭矩的关系，才能求出剪应力。在上面圆轴的截面上距圆心为ρ的点处，取一微面积dA，此面积上的微剪力为τρdA，它对圆心的力矩为ρτρdA，整个截面上各处的微剪力对圆心的力矩的总和应等于该截面上的扭矩Mn，即

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形即有关系式上式中，积分号下的A表示对整个横截面的面积进行积分。将(b)式代入上式，得

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形有关系式上式中，由于G、均为常量，故可写成（d）上式中：积分为截面对圆心O的极惯性矩，已经在第七章介绍。它与横截面的几何形状和尺寸有关，表示截面的一种几何性质，其常用单位为mm4或m4，用IP表示，即

9.4圆轴扭转时横截面上的应力与变形于是(d)式可写成