人教版八年级数学上册《角的平分线的性质（第2课时）》示范公开课教案.docx

12.3角的平分线的性质（第2课时）

教学目标

教学目标

1．掌握角的平分线的判定方法．

2．通过对该方法的探究过程，提高学生的逻辑推理能力．

3．能用角的平分线的判定解决相关问题．

教学重点

教学重点

掌握角的平分线的判定与性质的区别和联系，并会进行推理与书写．

教学难点

教学难点

准确运用角的平分线的判定解决问题．

教学过程

教学过程

新课导入

【问题】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为120000）？

【师生活动】教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并结合已经学过的角的平分线的性质的相关知识尝试解答本问题．

【设计意图】为了得到角的平分线的性质的逆定理，此处提出这个具有实际背景的问题，教师通过引导，让学生猜想到所求的点应在公路和铁路夹角的平分线上．

新知探究

一、探究学习

【问题】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

题设：一个点在一个角的平分线上．

结论：它到角的两边的距离相等．

交换题设和结论，你能得到什么新命题？这个新命题正确吗？

【师生活动】教师指导学生对角的平分线的性质交换题设和结论，进行改写，并对得到的新命题展开讨论，猜测是否正确．

【答案】新命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

【设计意图】让学生意识到，角的平分线的性质和判定这两个定理的题设和结论是相反的．

【问题】证明交换题设和结论得到的新命题是正确的．

【师生活动】结合上节课所学证明几何命题的步骤，教师指导学生写出已知、求证，并鼓励学生独立完成证明过程，组内交流、纠错．

【答案】已知：如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD＝PE．

求证：点P在∠AOB的平分线上（OP平分∠AOB）．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°．

∵在Rt△PDO与Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．

∴∠POD＝∠POE，即点P在∠AOB的平分线上．

【设计意图】通过对该命题的证明，进一步巩固学生对证明几何命题步骤的掌握，同时掌握角的平分线的判定这一定理．

【归纳】角的平分线的判定：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

【新知】角的平分线的判定的表示方法：

PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE

点P在∠AOB的平分线上

【问题】角的平分线的性质与判定之间有什么关系？

【师生活动】教师指导学生从题设和结论两个角度对性质和判定进行分析，找出两者之间的关系．

二、典例精讲

【例1】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

【师生活动】教师引导学生回顾角的平分线的性质，组内合作交流，解决问题．

【答案】证明：如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE．

同理PE＝PF．

∴PD＝PE＝PF，即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

【问题】在该题中，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

【答案】∵点P在∠A的内部，且PD＝PF，∴点P在∠A的平分线上．三角形的三条角平分线交于一点．

【设计意图】该问题的设置，给学生提供了一种证明线段相等的新思路：当问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段相等．同时说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三边的距离相等．

【例2】如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D．求证：AD平分∠BAC．

【答案】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°．

在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)．

∴DE＝DF．

又∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC．

【例3】如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们相交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F．

求证：点P在∠MBN的平分线上．

【分析】要证BP为∠MBN的平分线，只需证PD＝PF，而AP，CP为△ABC的外角的平分线，故可过点P作PE⊥AC于点E，根据角的平分线的性质有PD＝PE，PF＝PE，结论即可得证．

【答案】证明：如图，过点P作PE⊥AC于点E．

∵AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC与∠NCA的平分线，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，

∴PD＝PE，PF＝PE，所以PD＝PF．

∴点P在∠MBN的平分线上．

课堂小结

板书设计

一、角的平分线的