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国际奥林匹克数学竞赛试题

1.在一般直三角柱(OABC-ABC)中，AO=1，OB=2，OC=3，

AA=BC=0.7，BB=CC=0.8，请计算AA与OC的夹角的度数。

解答：

设点E为OC的中点，连接AE和OE。

由于AA与OC是垂直的，因此需要找到与直三角柱(OABC-ABC)

相关的性质，才能进一步解答这道题目。

观察直三角柱(OABC-ABC)，我们可以发现以下几个性质：

性质一：AOB是一个直角三角形。

证明：由于直三角柱的底面是一个直角三角形，所以AOB也是一

个直角三角形。

性质二：底面直角三角形AOB的直角边AB平行于AB。

证明：考虑平行四边形ABCA，其中AA和BC平行，且AA=BC。

根据平行四边形的性质，我们可以得出AB平行于AB。

利用性质一和性质二，我们可以将底面直角三角形AOB和直三角

柱(OABC-ABC)的侧面COC投影到平面上，形成一个二维平面图形。

在这个二维平面图形中，我们可以利用三角函数的概念来解答问题。

首先，由于AOB是直角三角形，我们可以利用三角函数计算角

AOB的度数。

根据三角函数的定义：

sin(AOB)=对边AB/斜边OB

由于AB=1，OB=2，代入上式计算得到sin(AOB)=1/2，因此角

AOB的度数为30°。

接下来，我们需要找到与直三角柱(OABC-ABC)相关的三角形。

观察直三角柱(OABC-ABC)的侧面COC，我们可以发现三角形

OCC与直角三角形AOB相似。

利用相似三角形的性质，我们可以得出以下比例关系：

OC/OA=OC/OB

由于OC=3，OA=0.7，OB=2，代入上式计算得到OC=4.2。

因此，三角形OCC是一个等腰三角形，其中OC=4.2，CC=0.8。

我们可以设AE的长度为x，利用三角形OAE的三角函数计算x的

值。

观察三角形OAE，由于角OAE为直角，我们可以使用三角函数

cos(OAE)=对边AE/斜边OA，计算边AE的长度。

由于cos(OAE)=OC/OA，代入OC=3，OA=1，计算得到cos(OAE)

=3/1，因此AE的长度为3。

最后，我们可以计算AA与OC的夹角的度数。

根据三角函数的cosine规则，我们可以得到以下等式：

cos(AOC)=(AE^2+OE^2-AO^2)/(2*AE*OE)

代入AE=3，OE=1，AO=1，计算得到cos(AOC)=5/6。

因此，AA与OC的夹角的度数为arccos(5/6)，约等于36.9°。

2.将一个半径为r的圆形铁皮平均割成6块，分别制成6个圆锥状

的器皿。求：每个器皿的底面半径和高。

解答：

首先，我们需要计算每个器皿的底面半径。

将一个圆形铁皮平均割成6块，意味着我们将圆形铁皮切割成6个

等面积的扇形。每个扇形的面积等于总面积除以6。

圆形的面积公式为S=π*r^2，其中r是半径。

因此，每个扇形的面积为S/6=(π*r^2)/6。

由于扇形的面积公式为S=(1/2)*r^2*θ，其中θ是扇形的弧度，

我们可以得到以下等式：

(π*r^2)/6=(1/2)*r^2*θ

化简上式可得：

(π*r^2)/3=r^2*θ

通过消去r^2，我们可以得到θ的值：θ=π/3。

由于圆形铁皮的周长等于每个扇形的弧长加起来，我们可以得到以

下等式：

2πr=6*r*θ

代入θ=π/3，化简上式得到r=3。

因此，每个器皿的底面半径为3。

接下来，我们需要计算每个器皿的高。

每个器皿可以看作是一个圆锥，其中底面半径为3，因此我们可以

使用圆锥的体积公式V=(1/3)*π*r^2*h，来计算高h的值。

由于每个器皿的底面半径为3，我们可以