专题03 条件概率与事件的独立性-2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第二册）解析版.docx

专题02条件概率与事件的独立性

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 2

压轴题型讲练 2

类型一、条件概率 2

类型二、事件的独立性 7

类型三、全概率和贝叶斯公式 11

压轴能力测评（10题） 13

一、条件概率

（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．

（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．

（3）如果与互斥，则．

注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；

已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即．

二、相互独立与条件概率的关系

（一）相互独立事件的概念及性质

（1）相互独立事件的概念

设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．

（2）概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

（3）相互独立事件的性质

如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．

（4）两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．

（二）事件的独立性

（1）事件与相互独立的充要条件是．

（2）当时，与独立的充要条件是．

（3）如果，与独立，则成立．

三、全概率公式

（一）全概率公式

（1）；

（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意事件，都有，且

．

（二）贝叶斯公式

（1）一般地，当且时，有

（2）定理若样本空间中的事件满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

②；

③，．

则对中的任意概率非零的事件，都有，

且

类型一、条件概率

【变式训练1】某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，

则，，

故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为.

故选：B.

【变式训练2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（???）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【详解】A.，所以，，

所以，故A错误；

B.，故B错误；

C.，故C正确；

D.，，

所以，，故D正确.

故选：CD

【变式训练3】（多选）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为的分值（一星分，二星分，三星分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是分，截止至年月日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为亿元，按照平均票价元来计算，大约有亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有的评价不低于二星，则下列说法正确的是（???）

A．的值是

B．随机抽取名观众，则不一定有人评价五星

C．若以频率当作概率，记事件为“评价是一星”，事件为“评价不高于二星”，则

D．若从已作评价的观众中随机抽出人，则事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件

【答案】ABD

【详解】对A选项，参与评价的观众中有的评价不低于二星，

则，所以，故A正确；

对B选项，随机抽取名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B正确；

对C选项，因为，则，故C错误；

对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，

事件“至多人评价五星”与事件“恰有人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.

故选：ABD.

【变式训练4】对于随机事件，若，，，则.

【答案】

【详解】因为，所以，

则，

所以，

又，

所以，解得.

故答案为：.

【变式训练5】（多选）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（????）

A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为

B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为

C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为