5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（五大题型）【含答案解析】.docx

5．4．1正弦函数、余弦函数的图象

【题型归纳目录】

题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图

题型二：含绝对值的三角函数

题型三：解三角不等式问题

题型四：与三角函数有关的零点问题

题型五：识图问题

【知识点梳理】

知识点一：正弦函数图象的画法

1、描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．

2、几何法

利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．

3、五点法

先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．

在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是

知识点诠释：

（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．

（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．

知识点二：正弦曲线

（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．

（2）图象

知识点诠释：

（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法

1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；

2、写出适合不等式在区间上的解集；

3、根据公式一写出不等式的解集．

【典型例题】

题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图

例1．画出下列函数在区间上的图象：

(1)；

(2)；

(3)．

【解析】（1）按五个关键点列表：

2

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示

（2）按五个关键点列表：

2

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示

（3）按五个关键点列表：

2

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示

例2．已知函数，用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像.

【解析】当时，

列表如下：

0

1

1

2

0

0

1

作图如下：

例3．已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：

x

完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；

??

【解析】由题意列出以下表格：

0

x

0

0

2

0

函数图象如图所示：

变式1．用“五点法”画出下列函数的简图：

(1)，；

(2)，．

【解析】（1）按五个关键点列表：

0

0

1

0

0

1

2

1

0

1

描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图，

（2）按五个关键点列表：

0

1

0

0

1

2

0

0

2

描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图．

变式2．已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

??

x

0

π

2π

【解析】补充完整的表格如下：

x

0

π

2π

1

3

5

3

1

描点、连线得函数的图象如图所示，

变式3．已知函数.

（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；

0

（2）求不等式的解集.

【解析】（1）由函数，可得完成表格如下：

0

1

1

可得在的大致图象如下：

（2）由，可得，即，

当时，由，得.

又由函数的最小正周期为，

所以原不等式的解集为().

【方法技巧与总结】

1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．

2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．

题型二：含绝对值的三角函数

例4．当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？

(1)；

(2).

【解析】（1），

将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.

.

（2），将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.

.

例5．画出函数的简图．

【解析】，

的图象如下图所示，

例6．作出函数，的大致图像．

【解析】函数，

其图如下所示：

变式4．作函数的图象.

【解析】

故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图

【方法技巧与总结】

分类讨论解决绝对值问题

题型三：解三角不等式问题

例7．不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

如图所示，不等式，的解集为

故选：A

例8．不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】将，转化为，再利用余弦函数的图象求解.因为，

所以，

如图所示：

，

所以不等式的解集为.

故选：B

【方法技巧与总结】

用三角函数的图象解（或）的方法

（1）作出直线，作出（或）的图象．

（2）确定（或）的x值．

（3）确定（或）的解集．

题型四：与三角函数有关的零点问题

例9．函数，的图象在区间的交点个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】分别作出，在区间上的图象，如图所示，

由图象可知：，的图象在区间