2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷（含答案）.docx

第=page11页，共=sectionpages11页

2024-2025学年北京十九中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=(2,?1,3)，b=(4,x,y)，且a/?/b，则

A.?4 B.?2 C.4 D.2

2.如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若AB=a

A.a+b?c

B.a+b

3.已知向量OA=(1,2,3)，OB=(1,?2,1)，点C为线段AB中点，则|OC

A.1 B.2 C.3

4.已知直线m，直线n和平面α，则下列四个命题中正确的是(????)

A.若m//α，n?α，则m//n B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，n//α，则m⊥n D.若m⊥n，n//α，则m⊥α

5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为(????)

A.16，43 B.16，23 C.8，43

6.已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m?n=0”是“l/?/α”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量n=(?3,?1,2)，AB=(1,0,?2)，AC=(1,1,1)，则

A.平面α/?/平面ABC B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直 D.以上均有可能

8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头.金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形.正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美.下面给出四个结论：

①AE//平面CDF；

②AC⊥EB；

③二面角E?BC?A的平面角余弦值为33；

④过点E至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等．

其中所有正确结论的个数是(????)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ?ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ?ABCD的体积为(????)(体积单位：立方丈)

A.10

B.8

C.6

D.5

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1的中点，

A.三棱锥F?AD1E体积为定值

B.存在唯一点F使EF⊥D1F

C.若AF≤22，则点F

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.若直线a的方向向量是n=(1,?1,2)，平面α的法向量是m=(?2,0,3)，则这条直线a和这个平面α的位置关系是______.(填写“面内、相交、平行”中的一种)

12.如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么圆锥的母线与底面所成的夹角等于______.(填写具体的角度大小)

13.如图，在正四面体O?ABC中，所有棱长均为2，若AM=MB，ON=2NC，OA=a，OB=b，OC=

14.如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2.

15.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，CC1=C

16.如图，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E(点B1位于平面ABCD上方)，连接B1C和B1D，F为B1D的中点，F在平面AECD的射影为F′，则在翻折过程中，给出下列四个结论：

①CF//平面AB1E；

②AB1与CF的夹角为定值π3；

③

三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AC=4，AB=3，BC=5．

(1)求直线AB1与直线CA1所成角的余弦值；

(2)

18.(本小题12分)

如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2．

(Ⅰ)求证：C1D//平面ABB1

19.(本小题12分)

如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF//DE，DE⊥AD，AD⊥BE，AF=AD=12DE=1，AB=2．

(1)求证：BF//平面CDE；

(2)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面C