人教版数学八上同步考点分类训练专题09 全等三角形中的动点问题(解析版).docVIP

专题09全等三角形中的动点问题

【解题技巧】

全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。

策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。

【例】1．（2019·福建龙岩·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=24cm，BC=16cm，AD=BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP全等时，v=（???）

A．3 B．4 C．2或4 D．2或3

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：

①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；

②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．

【详解】

解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，

∴BD=12cm，∠B=∠C，

情况一：

若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，

∵点P的运动速度为2cm/s，

∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），

∴v=CQ÷4=12÷4=3cm/s；

情况二：

②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，

得出，

解得：解出即可．

因此v的值为：2或3，

故选：D．

【点睛】

此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．

【跟踪训练】（2021·四川·博睿特外国语学校八年级期中）如图，在长方形中，，，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为．

(1)当时，为何值时，？此时是什么形状的三角形？

(2)当为何值时，以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？

【答案】(1)见解析．

(2)，或，．

【解析】

【分析】

（1）由可得出从而可求出t，由已知条件还可得出．得

即可得出是等腰直角三角形．

（2）以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等存在两种情况，和，结合已知条件，即可得出结论．

(1)

∵

∴，．

又∵，

∴．

∵

∴．

又

∴此时是等腰直角三角形．

(2)

①当时，，，

，

，

；

②当时，，，

则为的中点，

∴，

∴，

．

综上所述：当，或，时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．

【变式训练】

变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（???????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．

【详解】

由题意得，

如图，当△CAP全等于△PBQ时，

AC＝4m

m

P点从B向A运动，每分钟走1m

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP的长度．

变式2．（2021·河北保定·八年级期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（???????）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可分类讨论①当P在AC，Q在BC上时、②当P在AC，Q在AC上时和③当P在BC，Q在AC上时，根据三角形全等的性质可列出关于t的等式，解出t，即可得出答案．

【详解】

分类讨论，①当P在AC，Q在BC上时，

由题意可知，．

∵，与全等，

∴，即，

解得：；

②当P在AC，Q在AC上时，

由与全等，可知此时P、Q重合，

∴3t+2t=8+6

解得：．

③当P在BC，Q在AC上时，

此时，，且．

同理可得，即，

解得：(舍)．

综上可知t的值为2或．

故选A．

【点睛】

本题考查三角形全等的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．

变式3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C