人教版数学八上同步考点分类训练专题13 最短路径问题（原卷版）.docVIP

专题13最短路径问题

一、背景知识：

【传说】

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．

【问题原型】将军饮马造桥选址费马点

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直。

二、将军饮马问题常见模型

1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。

类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，

Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，

PA+PB最小，且最小值等于AB.

原理：两点之间线段最短。

类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，

即PA+PB的和最小.

作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.

原理：两点之间，线段最短

2.两动一定型

类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’?，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．

类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．

作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’?，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．

3.两定两动型最值

类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.

提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移

作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。

作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2B，

交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且

AC＋BD＋CD最短．

作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD

4.垂线段最短型

类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．

点A是定点，OM，ON是定线，

点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，

交OM于点B，B、C即为所求。

类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB|最小.

作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P

此时|PA-PB|=0

类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大

作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，

即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。

类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大

作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，

交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。

模型训练

1．（2021·陕西·榆林市第一中学分校九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（???????）

A．4 B．4.5 C．5.5 D．5

2．（2021·四川资阳·八年级期末）已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（???????）．

A．B．C． D．

3．（2018·全国·七年级单元测试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是14，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）

A．28 B．18 C．10 D．7

4．（2022·山东枣庄·二模）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．

5．（2022·云南昭