数学无穷思想的发展历程 .pdfVIP

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《论语》

数学无穷思想的发展历程

引言

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实

质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当

起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程光辉的起点：

数学无穷发展的萌芽时期

早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，

人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。

在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现

出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相

当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆

术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继

者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。

在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育

了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、

安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法

应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。

由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

首创风波：芝诺悖论

虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可

以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清

楚地表明了这一点。

芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷

思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。

阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大

于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已

进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越

近，但甲永远在乙后面而追不上乙。

这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之

却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？

崭新一页：微积分学的诞生

随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问

题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的

是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并

取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限

过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现

了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光

辉动人的乐章。

风波再起：贝克莱悖论

通往真理的路总是坎坷不平，布满了艰辛，探求无穷之径更绝非坦途。

子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”——《