浙江专用备战2025年高考数学考点一遍过考点09函数模型及其应用含解析.docxVIP

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考点09函数模型及其应用

1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的改变特征.

2．能将一些简洁的实际问题转化为相应的函数问题，并赐予解决..

一、常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

(为常数，)

反比例函数模型

(为常数且)

二次函数模型

（均为常数，）

指数函数模型

（均为常数，，，）

对数函数模型

（为常数，）

幂函数模型

（为常数，）

二、几类函数模型的增长差异

函数

性质

在(0，＋∞)上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

先慢后快，指数爆炸

先快后慢，增长平缓

介于指数函数与对数函数之间,相对平稳

图象的改变

随x的增大，图象与轴接近平行

随x的增大，图象与轴接近平行

随n值改变而各有不同

值的比较

存在一个，当时，有

三、函数模型的应用

解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：

（1）细致审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学学问，建立相应的数学模型；

（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原解答：将利用数学学问和方法得出的结论，还原到实际问题中.

用框图表示如下：

考向一二次函数模型的应用

在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.依据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

典例1依据调查，某地区有300万从事传统农业的农夫，人均年收入6000元，为了增加农夫的收入，当地政府主动引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时汲取当地部分农夫进入加工企业工作.据估计，假如有x(x0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农夫的人均年收入有望提高x%，而进入企业工作的农夫的人均年收入为6000a(1≤a≤3)元．

（1）在建立加工企业后，多少农夫进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农夫的总收入最大，并求出最大值；

（2）为了保证传统农业的顺当进行，限制农夫进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农夫，即x取何值时，能使300万农夫的年总收入最大．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）由题意，假如有x(x0)万人进入企业工作，设从事传统农业的全部农夫的总收入为y万元，

则y=6000(1+x%)(300-x)=-60(x

则图象的对称轴为x=100，抛物线开口向下，

即当x=100时，y取得最大值为y=2400000(万元)．

即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的全部农夫的总收入最大，最大为2400000万元．

（2）设300万农夫的总收入为f(x)，0x≤200，

则f(x)=-60(x

易知图象的对称轴为x=50(2+a)=100+50a，

①当1≤a2时，100+50a200，当x=100+50a时，f(x)取得最大值；

②当2≤a≤3时，100+50a≥200，当x=200时，f(x)取得最大值．

综上，当1≤a2时，x=100+50a，能使300万农夫的年总收入最大；当2≤a≤3时，x=200，能使300万农夫的年总收入最大.

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快削减库存，商场确定实行适当的降价措施．经调查发觉每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

考向二指数函数、对数函数模型的应用

（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.

（2）已知对数函数模型解题是常见题型，精确进行对数运算及指数与对数的互化即可.

典例2一片森林原来面积为a,安排每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年削减p%,10年后森林面积变为.为爱护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.

（1）求p%的值;

（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

（3）今后最多还能砍伐多少年?

【解析】（1）由题意得,即,

解得?.

（2）设经过m年，森林面积变为,

则,即，解得m=5,

故到今年为止,已砍伐了5年.

（3）设从今年起先,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,

令,即,,,解得n≤15,

故今后最多还能砍伐15年.

典例3某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消退了的污染物，试求：

（1）后还剩百分之几的污染物．

（2）污染物削减所须要