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第1讲三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[核心提炼]
1.三角函数:设α是一个随意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=eq\f(y,x).各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2.同角关系:sin2α+cos2α=1,eq\f(sinα,cosα)=tanα.
3.诱导公式:在eq\f(kπ,2)+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
[典型例题]
(1)(2024·湖州市高三期末)点P从点A(1,0)动身,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达点Q,则点Q的坐标是()
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(1,2)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),-\f(\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),2),\f(1,2)))
(2)(2024·长春一模)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+β))+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinβ的值为________.
(3)(2024·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5),-\f(4,5))).
①求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+π))的值;
②若角β满意sin(α+β)=eq\f(5,13),求cosβ的值.
【解】(1)选A.点P从(1,0)动身,沿单位圆逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点,所以∠QOx=eq\f(2π,3),
所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3),sin\f(2π,3))),
即Q点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(\r(3),2))).故选A.
(2)2tan(π-α)-3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+β))+5=0化简为-2tanα+3sinβ+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1化简为tanα-6sinβ=1,因而sinβ=eq\f(1,3).故填eq\f(1,3).
(3)①由角α的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5),-\f(4,5)))得sinα=-eq\f(4,5),
所以sin(α+π)=-sinα=eq\f(4,5).
②由角α的终边过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5),-\f(4,5)))得cosα=-eq\f(3,5),
由sin(α+β)=eq\f(5,13)得cos(α+β)=±eq\f(12,13).
由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-eq\f(56,65)或cosβ=eq\f(16,65).
eq\a\vs4\al()
应用三角函数的概念和诱导公式的留意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要留意分状况解决,机械地运用三角函数的定义就会出现错误.
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,肯定留意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循肯定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
[对点训练]
1.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(-4,3),则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))sin(-π-α),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)-α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)+α)))的值为________.
解析:原式=eq\f(-sinα·sinα,-sinα·cosα)=tanα.
依据三角函数的定义,得tanα=eq\f(y,x)=-eq\f(3,4),
所以原式=-eq\f(3
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