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2023年湖北省随州市中考数学试卷压轴题

一、选择题

2

10．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点(6，0)，对称轴为直线x＝2．则下

列结论正确的有()

①abc＜0；

②a－b＋c＞0；

211

③方程cx＋bx＋a＝0的两个根为x＝，x＝―；

12

26

④抛物线上有两点P(x，y)和Q(x，y)，若x＜2＜x，且x＋x＞4，则y＜y．

1122121212

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直

线DM对折，得到△NDM，当射线CN交线段AB于点Р时，连接

DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为______．

三、解答题

23．

1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，

B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出

了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：

(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，

③处填写角度数，

④处填写该三角形的某个顶点．)

当△ABC的三个内角均小于120°时，

如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC＝P′C，∠PCP′＝

60°，可知△PCP′为①三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA＋PB＋PC＝P′A′＋PB＋PP′

≥A′B，由②可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA＋PB＋PC取最小值；

如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝

③；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，

若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④点．

（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知

点P为△ABC的“费马点”，求PA＋PB＋PC的值；

（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝23km，∠

ACB＝60°．现欲建一中转站Р沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站Р到村庄

2

A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的

铺设成本最低为______元．(结果用含a的式子表示)

24．

2

如图1，平面直角坐标系xOy中，把物线y＝ax＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，

2)，连接BC，点P(m，n)(m＞0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交

x轴于点N．

（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；

（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以

B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

2022