《电磁场与电磁波》课件105.pptxVIP

第五章时变电磁场;5.1法拉第电磁感应定律

静态电场和磁场的场源分别是静止的电荷和恒定电流(等速运动的电荷)。它们是相互独立的，二者的基本方程之间并无联系。然而，随时间变化的电场和磁场是相互联系的。1831年英国科学家法拉第(M.Faraday)最早发现了时变电场和磁场间的这一深刻联系，即时变磁场产生时变电场。如果在磁场中有导线构成的闭合回路l，当穿过由回路l所限定的曲面S的磁通发生变化时，回路中就要产生感应电动势，从而引起感应电流。法拉第定律给出了感应电动势与磁通时变率之间的正比关系。感应电动势的实际方向可由楞次(H.E.Lenz)定律说明：感应电动势在导电回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化。法拉第定律和楞次定律的结合就是法拉第电磁感应定律，其数学表达式为;

式中，E为感应电动势，??为穿过曲面S和回路l铰链的磁通。磁通Φ的正方向与感应电动势E的正方向成右手螺旋关系，如图5-1所示。此外，式(5-1)中的Φ是所谓全磁通(亦称磁链)。当回路线圈不止一匝时，例如一个N匝线圈，可以把它看成是由N个一匝线圈串联而成的，其感应电动势为;;如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电

场E为两者之和，即E=Ec+Eind。但是，;首先考虑静止回路中的感应电动势。所谓静止回路是指回路相对磁场没有机械运动，只是磁场随时间发生变化，于是式(5-4)变为;式(5-7)是法拉第电磁感应定律的微分形式，它表明随时间变化的磁场将激发电场。时变电场是一有旋场，随时间变化的磁场是该时变电场的源。通常称该电场为感应电场，以区别于由静止电荷产生的库仑场。感应电场是旋涡场，而库仑场是无旋场即保守场。

接着考察运动系统的感应电动势。不失一般性，设回路相对磁场有机械运动，且磁感应强度也随时间变化。设回路l以速度v在Δt时间内从la的位置移到lb的位置，l由la的位置运动到lb的位置时扫过的体积V的侧面积是Sc，如图5-2所示。穿过该回路的磁通量的变化率为;;式中B(t+Δt)是在时间t+Δt时刻由lb围住的曲面Sb上的磁感

应强度，B(t)是在t时刻由la围住的曲面Sa上的磁感应强度。

若把静磁场中的磁通连续性原理推广到时变场，那么在时刻t+Δt通过封闭面S=Sa+Sb+Sc的磁通量为零，因此;从而;因此，l由la的位置运动到lb的位置时，穿过该回路的磁通量的时变率为;设静止观察者所看到的电场强度为E，那么E=E′－v×B。因此，运动回路中，;5.2位移电流

法拉第电磁感应定律表明：时变磁场能激发电场。那么，时变电场能不能激发磁场呢?回答是肯定的。法拉第在1843年实验证实电荷守恒定律在任何时刻都成立。电荷守恒定律的数学描述就是电流连续性方程：;;和;在承认;由于D=ε0E+P

所以位移电流;该式表明，磁场强度沿任意闭合路径的积分等于该路径所包围曲面上的全电流。

位移电流的引入扩大了电流的概念。平常所说的电流是电荷作有规则的运动形成的。在导体中，它就是自由电子的定向运动形成的传导电流。设导电媒质的电导率为σ(S/m)，其传导电流密度就是Jc=σE。在真空或气体中，带电粒子的定向运动也形成电流，称为运流电流。设电荷运动速度为v，其运流电流密度为Jv=ρv。位移电流并不代表电荷的运动，这与传导电流及运流电流不同。传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流，即

J=Jc+Jv+Jd(5-26);可见式(5-22)中的J应包括Jc和Jv。但是，Jc和Jv分别存在于不同媒质中。对于固体导电媒质(σ≠0)，此时只有传导电流，没有运流电流，所以J=Jc，Jv=0。对式(5-22)取散度知，;为了直观地说明位移电流的概念以及全电流连续性原理，参看图5-3所示的电路，电容器C通过导线连接到交流电源Us(t)，设

Us(t)=U0cosωt

显然导线中的传导电流;;电容器极板上有电荷Q=CUs，C为电容器的电容量。对于平行板电容器，电容C=εA/d，其中A为极板面积，d为两平板间距，ε为两平行极板间填充介质的介电常数，Us为电容器两极板间的电压。Q随时间的变化率即极板上的电流

;例5-1计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m，ε≈ε0。

解：铜中的传导电流大小为

Jc=σE=σE0sinωt

铜中的位移电流大小为;例5-2证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移

电流的总量为零。

解：根据麦克斯韦方程;

故通过任意封闭曲面的传导电流和位