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第一章集合与常用逻辑用语、不等式

一、集合

1.集合的含义与表示

(1)集合的概念

把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素:确定性、互异性、无序性.

(2)常用数集及其记法

N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.

(3)集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是a∈M,或者a?M,两者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:把集合的所有元素一一列举出来,写在花括号内表示集合.

③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.

④图示法:用数轴或Venn图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.

②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含任何元素的集合叫做空集().

2.集合间的基本关系

(1)子集、真子集、集合相等

名称

记号

意义

子集

A?B(或B?A)

A中的任一元素都属于B

真子集

AB(或BA)

A?B,且B中至少有一元素

不属于A

集合

相等

A=B

A中的任一元素都属于B,B中的

任一元素都属于A

(2)已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集.

3.集合的基本运算

(1)并集:一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B.

(2)交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B.

(3)补集:?UA={x|x∈U,且x?A}.

二、常用逻辑用语

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念(若A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q})

若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件

A?B

p是q的充分不必要条件

p?q且qp

AB

p是q的必要不充分条件

pq且q?p

BA

p是q的充要条件

p?q

A=B

p是q的既不充分也不必要条件

pq且qp

—

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题:?x∈M,p(x),它的否定:?x∈M,﹁p(x).

(2)存在量词命题:?x∈M,p(x),它的否定:?x∈M,﹁p(x).

全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.

三、等式性质与不等式性质

1.两个实数比较大小的方法

作差法a-

2.等式的性质

性质1对称性:如果a=b,那么b=a;

性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;

性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;

性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;

性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b

3.不等式的性质

性质1对称性:ab?ba;

性质2传递性:ab,bc?ac;

性质3可加性:ab?a+cb+c;

性质4可乘性:ab,c0?acbc;ab,c0?acbc;

性质5同向可加性:ab,cd?a+cb+d;

性质6同向同正可乘性:ab0,cd0?acbd;

性质7同正可乘方性:ab0?anbn(n∈N,n≥2).

四、基本不等式

1.基本不等式:ab≤a+

(1)基本不等式成立的条件:a0,b0.

(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.

(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab

2.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).

(2)ba+ab≥

(3)ab≤(a+b2

(4)a2+b22≥

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.

(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2

注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、

三相等”.

五、二次函数与一元二次方程、不等式

1.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).

(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

2.三个“二次”间的关系

判别式Δ=b2-4ac

Δ0

Δ=0

Δ0

二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根

有两相异实根x1,x2(x1x2)

有两相等实根x1=x2=-b

没有实数根

ax2+bx+c0(a0)的解集

{x|xx2或xx1}

{x|x≠-b2

R

ax2+bx+c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

3.分式不等式与整式不等式

(1)f(x)g(

(2)f(x)g(

(3)