2024年中考数学精讲考点---第6节 二次函数的图象与性质.docx

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第6节二次函数的图象与性质

【回归教材】

知识清单

知识点1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

定义

y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

a

a0

a0

图象

性质

对称轴

1.对称轴为直线①

2.利用x=x1+x22

顶点坐标

1.顶点坐标:②

2.将一般式配方为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为③

增减性

1.在对称轴左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而④

2.在对称轴右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑤

1.在对称轴左侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑥

2.在对称轴右侧,即当x-b2a时,y随x的增大而⑦

最值

当x=-b2a时,y取最小值,最小值为

当x=-b2a时,y取最大值,最大值为

知识点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系

a

知识点3二次函数与一元二次方程的关系

抛物线与

【参考答案】

①x=-b2a②-

⑤增大⑥增大⑦减小⑧向上⑨向下⑩越小

越大正半轴负半轴=

自我诊断

1.(人教九上P37练习变式)抛物线y=-3(x-4)2+5的顶点坐标是()

A.(4,5) B.(-4,5)

C.(4,-5) D.(-4,-5)

2.(冀教九下P38A组第2题(3)变式)设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()

A.y1y2y3 B.y2y1y3

C.y3y1y2 D.y3y2y1

3.如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象可能是()

A. B.

C. D.

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是()

A.c0

B.方程ax2+bx+c=0的根为x1=1,x2=3

C.当x1时,y随x值的增大而减小

D.当y≥0时,0x3

【参考答案】

1.A2.A3.C4.C

【真题精粹】

考向二次函数的图象与性质

1.(2020·河北15题2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下:

甲:若b=5,则点P的个数为0.

乙:若b=4,则点P的个数为1.

丙:若b=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是()

A.乙错,丙对 B.甲和乙都错

C.乙对,丙错 D.甲错,丙对

真题变式

2.变条件——解析式含参

如图,对于抛物线G:y=x(4-x+m)与直线L:y=m(m为常数),针对m的不同取值,三人的说法如下.

甲:无论m为何值,G与x轴总有两个交点.

乙:无论m为何值,G与L不会有交点.

丙:无论m为何值,G与L总有两个交点.

下列判断正确的是()

A.只有甲错B.只有丙对

C.只有甲、乙对 D.甲、乙、丙都错

3.(2023·河北16题2分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为()

A.2B.m2C.4D.2m2

【参考答案】

1.C2.B3.A

【核心突破】

题型二次函数的图象与性质

例(2023·保定一模)用绘图软件绘制抛物线m:y=-x2-2x+3与动直线l:y=a,且m与l相交于两点,图1为a=3时的视窗情形.

(1)求图1中A,B两交点之间的距离.

(2)如图2,将图1中的直线l绕点B旋转得到l,且l经过抛物线m与x轴的交点C,M为抛物线BC段上一动点,过点M作MN∥y轴与BC交于点N,求MN的最大值.

(3)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心(例如:将图1中坐标系的单位长度变为原来的12,如图3,其可视范围就由-6≤x≤6及-4≤y≤4变成了-12≤x≤12及-8≤y≤8).若l与m的交点分别是点P和点Q(4,a),为能看到抛物线m在点P,Q之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的1

核心方法

利用抛物线的性质解题“二字诀”

口诀

含义

具体内容

看

观察位置与形状

抛物线所在象限、开口方向与大小、顶点与对称轴、与坐标轴交点、升降特征等

化

化形为数来描述

把上述图象性质用二次函数系数的符号、大小、等量关系、不等量关系表示出来

思路点拨:

(1)a=3时,动直线l为y=3,将y=3代入y=-x2-2x+3,解方程可得A,B的坐标,从而求