2024年中考数学精讲考点---第8节 二次函数的实际应用.docx

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第8节二次函数的实际应用

【真题精粹】

考向1抛物线型实际问题

1.(2023·河北23题10分)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.

如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-18x2+n

(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值.

(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.

考向2文字、表格型二次函数实际问题

2.(2020·河北23题9分)用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.

(1)求W与x的函数关系式.

(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.

①求Q与x的函数关系式;

②x为何值时,Q是W薄的3倍?(注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围)

【参考答案】

1.(1)C1的最高点坐标为(3,2),a=-19

(2)4和5

2.(1)W=13x

(2)①Q=-4x+12②当x=2时,Q是W薄的3倍

【核心突破】

题型1抛物线型实际问题

例1(2023·石家庄二模)如图,这是一次体操跳台训练的截面示意图,△ABO和线段MN分别为跳板和跳马面.取地面为x轴,跳板AO边所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0.15),B(-1.5,0),M(0.9,1.35),N(1.25,1.35).已知一名体操运动员在跳板AB边上的点Q处起跳,第一次腾空的路线为抛物线C1:y=-2x2+4mx-2m2+2.1,双手撑跳马面MN后第二次腾空的路线为抛物线C2:y=-2(x-h)2+k.(m,n为正数,计算结果精确到0.1,6≈2.4)

(1)跳马面MN的宽为m,求AB所在直线的表达式.?

(2)若运动员在距离地面0.1m的点Q处起跳,判断其双手是否会撑在跳马面上.

(3)运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为d,d越大,完成动作的效果越好,若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为(1.1,1.35),直接写出当0≤d≤1.25时,h的取值范围.

思维点拨:

(1)根据点M,N的坐标求出跳马面MN的宽;再根据点A,B的坐标用待定系数法求出直线AB的解析式.

(2)先利用直线AB的解析式求出点Q的坐标,进一步求出抛物线C1的解析式,令y=1.35,解方程求出x的值,若x在0.9到1.35之间,则能撑在跳马面上.

(3)由点(1.1,1.35)在抛物线C1上,可得其解析式,确定顶点坐标,再根据0≤d≤1.25求出抛物线C2顶点坐标的取值范围,把(1.1,1.35)与顶点坐标的极端值代入C2的解析式,求出h的取值范围.

题型2文字、表格型二次函数实际问题

例2(2023·邯郸一模)如图,在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动.黑球到达A处时,从10cm/s开始减速,每过2秒减1cm,其运动距离y(单位:cm)由两部分构成:一部分与运动时间t(单位:s)成正比,另一部分与t2成正比,此时,白球在黑球前面70cm处,一直以2cm/s的速度匀速运动.小聪测量黑球减速后的数据如表所示:

运动时间t/s

2

4

运动速度v/(cm/s)

9

8

运动距离y/cm

19

36

(1)求出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).

(2)求黑白两球之间的距离w与运动时间t之间的关系式,判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球.

核心方法

二次函数应用“六步走”

序号

步骤

做法

1

审

审清题意并找出变量之间的等量关系

2

列

根据等量关系或图象特征列出二次函数解析式

3

定

确定二次函数的顶点坐标和对称轴

4

求

根据二次函数性质求解

5

验

检验结果的实际意义

6

答

写出问题的答案

解题步骤:

(1)第一步:由“黑球到达A处时,从10cm/s开始减速,每过2秒减1cm”,可知v与t符合函数特征,设出解析式,代入,(4,8),用待定系数法求解析式;?

第二步:由“运动距离y(单位:cm)由两部分构成:一部分与运动时间t(单位:s)成正比,另一部分与t2成正比”,设出函数关系式,代入,