2024届河北省金科大联考高三上学期1月质量检测考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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河北省金科大联考2024届高三上学期1月质量检测考试

数学试题

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由，解得，所以，

由，解得，所以，，

故选：C．

2.已知，若为纯虚数，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由为纯虚数，得，，解得，

所以，

故选:B．

3.设，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由已知得，故，

因为，所以，

故，解得，

故选：C．

4.已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由可得，

又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，

故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，

故选：D．

5.设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】依题意，在上恒成立，

记，则在上恒成立，

在上单调递增，所以只需，解得，

故选：A．

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（）

A B. C. D.

【答案】B

【解析】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，

甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，

甲不去场馆，分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；

情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，

场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，

场馆仅有2名志愿者的概率为.

故选：B．

7.已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由于平面，

所以平面，平面，

由于，则，

在中，利用余弦定理可得,

所以，

过作的垂线，垂足为，由，平面，

所以平面，

又平面，所以，所以，

不妨设，则，所以由余弦定理得，，

故选：A．

8.已知双曲线的离心率为2，左?右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率，

则，

由余弦定理得，所以，

又，所以，

设，则，，

所以，所以，

，

故选：D．

二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知甲?乙两组数据分别为，和，若甲?乙两组数据的平均数相同，则（）

A.甲组数据的中位数为10

B.乙组数据的第75百分位数为9.5

C.甲?乙两组数据的极差相同

D.甲组数据的方差小于乙组数据的方差

【答案】AD

【解析】甲组共有5个数据，从小到大排列后，10为中间数字，所以甲组数据的中位数为选项正确；

由题意得甲?乙两组数据的平均数相同，且易知甲组数据的平均数均为10，

故乙组数据的平均数也为10，故得，所以，

又，乙组数据从小到大排列为，

所以乙组数据的第75百分位数为选项错误；

易知甲组数据极差为4，乙组数据极差为选项错误；

两组数据平均数相同，乙组数据离散程度更大，方差更大，D选项正确，

故选：AD．

10.已知圆台上?下底面半径分别为1，2，且上下底面圆周均在半径为的球的球面上，则该圆台的体积可能为（）

A. B. C. D.

【答案】AC

【解析】设圆台外接球球心为，球心到上，下底面的距离为，

则，解得，同理可得，

若位于上下底面之间，则圆台的高为，

此时圆台体积为，

若位于下底面下方，则圆台的高为，

此时圆台体积为.

故选：AC．

11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（）

A.圆和圆外切 B.直线斜率的最小值为0

C.直线斜率的最大值为 D.面积的最大值为7

【答案】BCD

【解析】A选项，的圆心为，半径为，

的圆心为，半径为，

，因为，所以和外离，选项错误；

B选项，画出两圆如下：

可以看出共有4条公切线，其中内公切线的斜率最小，

其中：与和均相切，所以直线斜率的最小值为正确；

C选项，由B选项可知，：，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为，

直线的斜率，即，

则，

所以直线斜率的最大值为．C选项正确；

D选项，易知，此时三点共线，

当时，