全微分在数值计算中的应用.pptVIP

湖北经济学院数学教研室2005.5湖北经济学院数学教研室2005.5二、全微分在数值计算中的应用一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于?x,?y,仅与x,y有关，则称函数称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,f(x,y)在点(x,y)可微，处的全增量则称此函数在D内可微.01偏导数连续02下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:03函数可微04函数z=f(x,y)在点(x,y)可微05得06函数在该点连续07偏导数存在08函数可微09即由微分定义:定理1(必要条件)函数在该点偏导数1同样可证2证:由全增量公式3得到对x的偏增量4因此有5必存在,且有若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该6反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.即:偏导数存在函数不一定可微!定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,于是记作称为偏微分.故有下述叠加原理的全微分为例1计算函数在点(2,1)处的全微分.解例2计算函数的全微分.解近似计算(可用于近似计算)由全微分定义可知当及较小时,有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)二、全微分在数值计算中的应用解:已知即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm,求此圆柱体体积的近似改变量.则则取解:设,则CBA例4.计算的近似值.2.误差估计利用1令2z的相对误差界约为3z的绝对误差界约为分别表示x,y,z的绝对误差界,则4特别注意乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数类似可以推广到三元及三元以上的情形.例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得湖北经济学院数学教研室2005.5湖北经济学院数学教研室2005.5*