广东省广州市高考数学复习 专项检测试题：28 函数的奇偶性、周期性和对称性.docVIP

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函数的奇偶性、周期性和对称性

一、奇偶性

1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么

函数就叫做奇函数。

（1）定义域必须关于原点对称；

（2）对定义中的任意一个，都有；

（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。（这是判断奇函数的直观方法）

2、偶函数定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数

就叫做偶函数。

（1）定义域必须关于原点对称；

（2）对定义中的任意一个，都有；

（3）图象特征：偶函数图象关于轴对称。（这是判断偶函数的直观方法）

二、周期性

周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。例如，狄利克雷函数，当为有理数时，取1；当为非有理数时，取0。

（1）如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数。

（2）如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期函数。

（3）如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期函数。

三、对称性

1、函数图象本身的对称性（自身对称）

题设：函数对定义域内一切来说，其中为常数，函数满足：

（1）函数图象关于直线成轴对称；

（2）函数的图象关于直线成轴对称；

（3）函数图象关于直线成轴对称；

（4）函数图象关于轴对称（偶函数）；

（5）函数图象关于成中心对称；

（6）—函数图象关于原点成中心对称（奇函数）；

（7）如果函数满足且，（和是不相等的

常数），则是以为为周期的周期函数；

（8）如果奇函数满足（），则函数是以为周期

的周期函数；

（9）如果偶函数满足（），则函数是以为周期

的周期函数。

2、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

（1）曲线与关于轴对称。

（2）曲线与关于轴对称。

（3）曲线与的图象关于原点对称；

（4）曲线与的图象关于直线对称。

（5）曲线与关于直线对称。

（6）曲线关于直线对称曲线为。

（7）曲线关于直线对称曲线为。

（8）曲线关于直线对称曲线为。

（9）曲线关于点对称曲线为。

注意：设，都有且有个实根，则所有实根之和为。

例1：已知满足，，当时

且，若，，，求大小关系？

解：由已知得，对称轴，也为一条对称轴

∴，，，，

∴

例2：若函数，有，求。

解：，知的图象关于对称，而的对称中心，∴，∴，则。

例3：设是定义在上的函数，均有，当时，，求当时，的解析式。

解：由有得

设，则，；

∴，∴当时，。

推理与证明

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知a，b，c都是正数，则三数()

A．都大于2 B．都小于2

C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

【答案】D

2．用反证法证明“方程至多有两个解”的假设中，正确的是()

A．至多有一个解 B．有且只有两个解

C．至少有三个解 D．至少有两个解

【答案】C

3．用反证法证明命题“若，则全为0”其反设正确的是()

A．至少有一个不为0 B．至少有一个为0

C．全不为0 D．中只有一个为0

【答案】A

4．已知为不相等的正数，，则A、B的大小关系()

A． B． C． D．

【答案】A

5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()

A．至少有一个不大于2 B．都小于2

C．至少有一个不小于2 D．都大于2

【答案】C

6．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数中恰有一个偶数”,正确的假设为()

A．都是奇数

B．都是偶数

C．中至少有两个偶数

D．中至少有两个偶数或都是奇数

【答案】D

7．下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

8．若，则的大小关系是()

A． B． C． D．由的取值确定

【答案】C

9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()

A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度

C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度

【答案】B

10．平面内有条直线，最多可将平面分成个区域，则的表达式为()

A． B． C． D．

【答案】C

11．用反证法证明：“方程且都是奇数,则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根为()

A．整数 B．奇数或偶数 C