专题01 一元二次方程的实际应用与几何应用（考题猜想，7种热考题型）解析版.docx

专题01一元二次方程的实际应用与几何应用

（考题猜想，7种热考题型）

题型一：一元二次方程的实际应用——面积问题（共4题）

1．（边框设计问题）（2023秋?兴宾区期末）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，要求纸边的宽度不得少于，同时不得超过．

（1）求出关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；

（2）此时金色纸边的宽应为多少时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．

【分析】（1）用含的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出关于的函数解析式，结合题意标明的取值范围即可；

（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．

【解答】解：（1）镶金色纸边后风景画的长为，宽为，

．

（2）二次函数的对称轴为，

在上，随的增大而增大，

当时，取最大值，最大值为4536．

答：金色纸边的宽为时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为．

【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）结合矩形的面积找出关于的函数解析式；（2）根据二次函数的性质解决最值问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式是关键．

2．（甬路问题与平移）（2024春?栖霞市期末）某校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．

（1）如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度；

（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分建为学生综合实践种植园，如果要使种植园的面积是场地面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？

【分析】（1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的二分之一，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．

【解答】解：（1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：道路的宽度为；

（2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：道路的宽度应设计为．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3．（围栏靠墙问题——注意自变量的取值范围）（2023春?安庆期末）某农场要建一个饲养场（长方形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的、、三处各留、、宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长．

（1）若饲养场（长方形的一边长为，则另一边．

（2）若饲养场（长方形的面积为，求边的长．

（3）饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由．

【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出的长；

（2）设米，则米，根据饲养场（矩形的面积为165平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；

（3）设米，则米，根据饲养场（矩形的面积为195平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，即可得出饲养场的面积不能达到195平方米．

【解答】解：（1）（米．

故答案为：18．

（2）设米，则米，

依题意得：，

解得：，．

，，

，

，

当时，（米，符合题意．

答：边的长为11米．

（3）不能，理由如下：

设米，则米，

依题意得：，

整理得：．

△，

该方程无实数根，

饲养场的面积不能达到．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4．（折叠纸盒问题）（2024春?上城区期末）综合与实践：

用硬纸板制作无盖纸盒

背景

在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．

素材

配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：

当时，有最大值5．

方案1

甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．

方案2

乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，