人教版数学八上同步考点分类训练专题10 全等三角形的辅助线问题(解析版).docVIP

专题10全等三角形的辅助线问题

倍长中线：

解题技巧：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

【例】．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．

【答案】6

【解析】

【分析】

延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，证明，则的面积等于的面积，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而计算其面积．

【详解】

解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，则AE＝4．

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝3，，

．

∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，

∴，

∴△ABE是直角三角形，且．

∴．

【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出正确的辅助线，将问题转化．

【跟踪训练】．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．

(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)AC=BF，理由见解析

【解析】

(1)

解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中

∵，

∴△ADC≌△EDB（SAS）．

∴BE=AC=3．

∵AB-BEAEAB+BE

∵2AE8．

∵AE=2AD

∴1AD4．

(2)

AC=BF，理由如下：

延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，

在△ADC和△GDB中，

，

∴△ADC≌△GDB（SAS）．

∴BG=AC，∠G=∠DAC．．

∵AE=EF

∴∠AFE=∠FAE．

∴∠DAC=∠AFE=∠BFG

∴∠G=∠BFG

∴BG=BF

∴AC=BF．

【点睛】

本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．

【变式训练】

变式1．（2022·全国·八年级课时练习）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是（???????）．

A．SSS???????B．SAS???????C．AAS???????D．ASA

(2)AD的取值范围是（???????）．

A．???????B．???????C．???????D．

(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．

【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【答案】(1)B

(2)C

(3)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；

（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；

（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．

(1)

∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

(2)

∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=6，AE=2AD，

∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选：C．

(3)

延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．

∵AD是△ABC中线

∴CD＝BD

∵在△ADC和△MDB中

∴

∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）

∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠M，

∴BF＝BM（等角对等边）

又∵BM＝AC，

∴AC＝BF．

【点睛】

本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

二：垂线模型：

【例】．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级阶段练习）阅读理解：

(1)如图1，在