人教版数学八上同步考点分类训练专题14 等腰三角形中的动点问题（解析版）.docVIP

专题14等腰三角形中的动点问题

【解题技巧】

等腰三角形的动点问题往往不会单独考察，一般会和全等三角形、直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形以及平面直角坐标系等结合考察。

做此类问题的解题技巧和全等三角形的类似，如果牵涉到时间问题的，分为三步走：

先把动点走过的路程用时间表示出来；

把剩余路程也用时间表示出来；

根据题目中的等量关系列方程。

有些不是和时间有关的，需要做辅助线类的，要根据题意做辅助线构造等腰三角形来解决问题。

【例】1．（2020·贵州遵义·八年级期末）如图，已知中，厘米．厘米，点为的中点．

(1)如果点P在边上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在边上由C点向A点运动．

①若点Q与点P的运动速度相等，1秒钟时，与是否全等？请说明理由：

②若点Q与点P的运动速度不相等，要使与全等，点Q的运动速度应为多少？并说明理由；

若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都沿的三边按逆时针方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，求它们运动的时间，并说明此时点P与点Q在的哪条边上．

【思路】：

【方法总结】：

【答案】(1)①△BPD≌△CQP，理由见解析；②点Q的运动速度为4cm/s，理由见解析；

(2)经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．

【解析】

【分析】

（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；

②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

（1）①1秒钟时，△BPD与△CQP全等；理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=3（cm）∵AB=12cm，D为AB中点，∴BD=6cm，又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间（秒），此时（cm/s）．

（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得：4x=3x+2×12，解得：x=24，此时P运动了24×3=72（cm）又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．

【点睛】

本题是三角形综合题目，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用；熟练掌握三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．

【跟踪训练】．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题：

(1)点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）．

(2)在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值；

(3)在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由．

【思路】：

【方法总结】：

【答案】(1)（24－5t），（5t－24）

(2)t值为3或者12

(3)存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6．

【解析】

【分析】

（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24．

（2）当点F在C的左侧时（含点C），用t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．

当点F在C的右侧时，用t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t．

（3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF．

（1）（24－5t），（5t－24）．

（2）当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得，CF＝24－5t，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝24－5t，解得t＝3．当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t，∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，3t＝5t－24，解得t