空间直线与平面的位置关系.pdfVIP

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

空间直线与平面的位置关系

在三维几何中，空间直线与平面的位置关系是一个重要的概念。空

间直线和平面之间可以存在几种不同的位置关系，包括相交、平行和

共面。本文将详细讨论这些位置关系，并提供一些相关实例来帮助读

者更好地理解。

一、相交

当一条空间直线与平面有且仅有一个公共点时，我们称它们相交。

这个公共点可以是直线上的任意一点，而不仅仅是端点。另外，这个

公共点既可以在平面内，也可以在平面外。相交的情况可以分为两种：

1.1直线与平面相交于平面内点

当直线与平面相交于平面内的一点时，我们称其为平面内相交。在

这种情况下，直线与平面的交点既属于直线，也属于平面，且位于平

面内部。

实例1：考虑一个位于坐标系中的平面P：2x+3y-z=4，以及过

点A(1,2,-1)，且方向向量为向量v(2,1,3)的直线L。可以通过求解直

线L与平面P的交点来判断它们的位置关系。将直线L的参数方程代

入平面的方程中，可以得到2(1+t)+3(2-t)-(-1+3t)=4。解方程可以得

到t=-1。将t的值代入直线L的参数方程可以得到交点：(-1,1,2)。由

于交点在平面P内，所以可以确定直线L与平面P相交于平面内点(-1,

1,2)。

1.2直线与平面相交于平面外点

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

当直线与平面相交于平面外的一点时，我们称其为平面外相交。在

这种情况下，直线与平面的交点不属于平面，而只属于直线。

实例2：考虑一个位于坐标系中的平面P：x-2y+z=4，以及过点

B(2,1,3)，且方向向量为向量w(1,2,-1)的直线M。同样地，可以通过

求解直线M与平面P的交点来判断它们的位置关系。将直线M的参数

方程代入平面P的方程中，可以得到(2+s)-2(1+2s)+(3-s)=4。解方程

可以得到s=-1。将s的值代入直线M的参数方程可以得到交点：(1,-

1,4)。由于交点不在平面P上，所以可以确定直线M与平面P相交于

平面外点(1,-1,4)。

二、平行

当一条空间直线与平面没有公共点时，我们称它们平行。在这种情

况下，直线在平面上的投影与平面没有交点。平行的情况可以分为两

种：

2.1直线与平面平行且不在平面上

当直线与平面平行且不在平面上时，它们永远不会相交。

实例3：考虑一个位于坐标系中的平面P：2x+3y-z=4，以及过

点C(1,2,-1)，且方向向量为向量u(2,1,3)的直线N。可以通过将直线

N的方向向量与平面的法向量进行点乘来确定它们的位置关系。法向

量为平面P的系数矩阵的转置向量(2,3,-1)。计算两个向量的点积为

2*2+3*1+(-1)*3=1。由于点积不为零，可以确定直线N与平面P平

行，但它们不会相交。

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

2.2直线与平面平行且在平面上

当直线与平面平行且在平面上时，它们在平面上的所有点都与直线

平行。

实例4：考虑一个位于坐标系中的平面P：x-2y+z=4，以及过点

D(2,1,3)，且方向向量为向量v(