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江苏省四市十一校联盟2024-2025学年高二上学期12月阶段联测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知直线与垂直,则()

A.0 B.1 C.2 D.

2．双曲线的焦点到渐近线的距离为()

A. B.2 C. D.

3．已知数列1,,,,3,…,按此规律,是该数列的()

A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项

4．以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是()

A. B.

C. D.

5．已知点,抛物线上有一点,则的最小值是()

A.10 B.8 C.5 D.4

6．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器,该名称源于屈原长诗《天问》,寓意探求科学真理征途漫漫,追求科技创新永无止境.图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图,火星的球心是椭圆的一个焦点.过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线,,则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角.图（2）所示的Q,R,S,T四个点处,对火星的观测角最大的是()

A.Q B.R C.S D.T

7．将正整数n分解为两个正整数、的积,即,当、两数差的绝对值最小时,我们称其为最优分解.如,其中即为20的最优分解,当、是n的最优分解时,定义,则数列的前2024项的和为()

A. B. C. D.

8．已知是圆的一条弦,,P是的中点.当弦在圆O上运动时,直线上总存在两点A,B,使得为钝角,则的取值范围是()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．已知曲线,下列说法正确的是()

A.若,则曲线C为椭圆

B.若,则曲线C为双曲线

C.若曲线C为椭圆,则其长轴长一定大于2

D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线,则其离心率小于大于1

10．已知数列满足,,则下列说法正确的是()

A. B.中存在连续三项成等差数列

C.中存在连续三项成等比数列 D.数列的前n项和

11．已知椭圆的左,右顶点分别为A,B,左,右焦点分别为,,P是椭圆上异于的一点,且（O为坐标原点）,记PA,PB的斜率分别为,,设I为的内心,记,,的面积分别为,,,则()

A. B.C的离心率为 C. D.

三、填空题

12．下列条件中,哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.

①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为3;④焦点到准线的距离为4;⑤由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为.

13．已知数列满足,,且.若是数列的前n项积,求的最大值为______.

14．如图所示,已知双曲线的右焦点F,过点F作直线l交双曲线C于两点,过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G,,且三点A,O,G共线（其中O为坐标原点）,则双曲线C的离心率为_________.

四、解答题

15．已知双曲线的离心率,实轴长.

（1）求C的方程;

（2）过C右焦点且倾斜角为的直线交C于A,B两点,求;

16．在等比数列中,,,.

（1）求数列的通项公式;

（2）设,求数列的前n项和;

17．如图,圆内有一点,为过点M且倾斜角为的弦.

（1）当时,求的长;

（2）是否存在弦被点M平分?若存在,写出直线的方程;若不存在,请说明理由.

（3）是过点M的另一条弦,当与始终保持垂直时,求的最大值.

18．已知椭圆的一个焦点,两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过焦点作x轴的垂线交椭圆上半部分于点P,过点P作椭圆C的弦,,M、N在椭圆上且直线,的倾斜角互补,问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

（3）在第（2）问的条件下,当面积最大时,求直线MN的方程.

19．若数列满足(n为正整数，p为常数)，则称数列为等方差数列，p为公方差.

(1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；

(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.

(3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在的条件下，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和

参考答案

1．答案：C

解析：因为直线与垂直,

所以,解得.

故选:C.

2．答案：B

解析：中,,故,故焦点坐标为,

渐近线方程为,

故焦点到渐近线的距离为,

由对称性可知,双曲线的焦点到渐近线的距离为2.

故选:B

3．答案：D

解析：根据数列1,,,,3,…,

,

又,

,解得,

故选：D.

4．答案：D

解析：因为点为圆心到直线的距离为,

所以圆的半径为,圆的方程为.

故选:D.