人教版数学八年级上册考点讲解+课后练习第4课时 最短路径（解析版）.doc

第四课时——最短路径（答案卷）

知识点一：最短路径：

最短路径基本原理：

①两点之间，线段最短。

②点到直线的距离最短。

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。

基本类型：

类型一：如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小。

方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段的交点即为要找的点M。

解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。

证明：∵P与P’关于直线l对称

∴直线l是PP’的垂直平分线

∴MP＝MP’

∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q。

∴MP＋MQ此时有最小值，为P’Q的长度

1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

A． B．

C． D．

【分析】根据最短路径作图即可得出答案．

【解答】解：有最短路径作图可知B答案符合题意

故选B

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是．

【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．

【解答】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．

故答案为：8．

3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝16，D为AB的中点，P为BC上一个动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是．

【分析】作A关于BC的对称点A，连接A′B，A′D，则A′D的长度就是AP+DP的最小值，AP＝A′P，AB＝A′B，由已知求得∠A＝60°，得到△AAB为等边三角形，则A′D＝BC＝16．

【解答】解：作A关于BC的对称点A，连接A′D，

则A′D的长度就是AP+DP的最小值，

连接A′B，

∵BC⊥AA′，AC＝A′C

∴AB＝A′B，AP＝A′P，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°

∴∠A＝60°，

∴△AAB为等边三角形，

∴A′D＝BC＝16，

∴AP+DP＝AP+PD＝A′D＝16，

∴AP+DP的最小值是16，

故答案为：16．

4．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．则△APC周长的最小值为（）

A．10 B．11 C．11.5 D．13

【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．

【解答】解：∵直线m垂直平分BC，

∴B、C关于直线m对称，

设直线m交AB于D，

∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，

∴△APC周长的最小值是6+4＝10．

故选：A．

5．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．

【分析】连接AQ，依据等边三角形的性质，即可得到CQ＝AQ，依据当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，即可得到BP的长．

【解答】解：如图，连接AQ，

∵等边△ABC中，BD为AC边上的中线，

∴BD垂直平分AC，

∴CQ＝AQ，

∴CQ+PQ＝AQ+PQ，

∴当A，Q，P三点共线，且AP⊥BC时，AQ+PQ的最小值为线段AP的长，

此时，P为BC的中点，

又∵等边△ABC的周长为18cm，

∴BP＝BC＝×6＝3cm，

故答案为：3．

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（）

A．15 B．17 C．18 D