7.3 平面向量的内积-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（讲）【含答案解析】.docxVIP

7.3平面向量的内积

【考点梳理】

1．数量积的概念

已知两个非零向量a与b，我们把数量eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b_，即a·b＝__|a||b|cosθ___，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))与b在a的方向上的投影eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cosθ的乘积．

2．数量积的运算律及常用结论

(1)数量积的运算律①交换律：a·b＝b·a；②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(2)常用结论①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；③a2＋b2＝0?a＝0且b＝0；

3．数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

①e·a＝|a|cosθ②a⊥b?a·b＝0.③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|

特别地，a·a＝|a|2或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a).④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)

4．数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).

②a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

考点一平面向量内积的定义

【例题】（1）已知向量，，若与的夹角为，则为（???????）

A． B． C． D．1

【答案】B【解析】因为向量，，若与的夹角为，所以，故选：B.

（2）若，，，则向量与的夹角为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，，，得，所以，故选：C.

（3）已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（???????）

A．2 B． C． D．1

【答案】D

【解析】因为与均为单位向量，且与的夹角为，所以，故选：D.

（4）若平面向量的夹角为，且，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于选项A,,所以该选项不正确；对于选项B,,所以，所以该选项正确；对于选项C,,所以该选项不正确；对于选项D,，所以该选项不正确，故选：B.

（5）若，且，则.

【答案】

【解析】因为，且，所以，故答案为：.（6）向量，满足，，，则向量与夹角的大小为.

【答案】

【解析】设与夹角为，由得，即，又，，带入得，故，因为，所以，故答案为：

【变式】（1）已知向量与满足，且，则与的夹角等于．

【答案】

【解析】依题意，，∴与的夹角为，故答案为：.

（2）已知向量满足，则（???????）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【解析】因为，所以，解得.

故选：A.

（3）已知，且，则向量夹角的余弦值为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设向量的夹角为，因为，所以．

故选：B.

（4）已知等边三角形ABC的边长为2，则（???????）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为向量的夹角为，所以，故选：B.

（5）已知单位向量满足，且，，则_________.

【答案】2

【解析】，故答案为：2.

（6）平面向量与的夹角为，，则.

【答案】

【解析】，所以，故答案为：.

考点二平面向量内积的坐标运算

【例题】（1）已知向量，若，则（?????）

A．4 B．4 C．1 D．1

【答案】D

【解析】因为向量，，所以，得，故选：D.

（2）设向量，，则与的夹角等于（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，故选：A.

（3）设向量，，且，则=（???????）

A．1或3 B．3 C．1或5 D．5

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以或，故选：C.

（4）已知向量，，且，则（???????）

A．6 B． C． D．

【答案】D

【解析】因为向量，，且，所以