专题18.4 矩形中的几何综合（压轴题专项讲练）（解析版）.pdf

专题18.4矩形中的几何综合

◆思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

◆知识点总结

一、矩形的性质

1．平行四边形的性质矩形都具有；

2．角：矩形的四个角都是直角；

3．边：邻边垂直；

4．对角线：矩形的对角线相等；

5．矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点．

二、矩形的判定方法

1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2．有三个角是直角的四边形是矩形；

3．对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．

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◆典例分析

【典例1】在矩形中，是边上一点．

∠=60°∠=1△

（1）若，平分，且，求的面积；

=⊥=+

（2）若是中点且，于点，求证：3；

∠=60°⊥==3

（3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，

=∠+∠=180°

连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系．

【思路点拨】

（1）利用角平分线的性质，构造△≌△，同时得到含30°角的特殊Rt△，可求出，进而求

出，再求面积

（2）将分割为、3两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明

∠+∠=180°∠=60°∠=120°=2∠

（3）从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉

手模型，再通过“8”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系

【解题过程】

==∠=∠=∠=90°

解：（1）在矩形中，，．

⊥1

过作于，如图．

∵∠=∠=90°，∠