专题18.6 正方形中的几何综合（压轴题专项讲练）（原卷版）.pdf

专题18.6正方形中的几何综合

◆思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

◆知识点总结

一、正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

二、正方形的性质

1．正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

2．正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

3．正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

4．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称

轴．

三、正方形的判定

1．先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

2．先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；

3．还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

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◆典例分析

∠=45°

【典例1】问题背景：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，，

=+

（1）求证：；

∠=45°=3=1

（2）迁移应用：如图2，在正方形中，、交于点、，若，，，

求的长；

∠=45°

（3）联系拓展：如图3，在矩形中，点、分别在边、上，，若

::=1:2:4，探究与的数量关系，并给出证明．

【思路点拨】

RtΔABE≅RtΔADP(SAS)=∠=∠△≌△

（1）先判断出，得出，，再判断出(AAS)，

即可得出结论；

Δ≌Δ=3===+3=+1

（2）先判断出(ASA)，得出，设，则，，再根据勾

股定理得出(+3)2=42+(+1)2，求出=1，即可得出结论；

==2==2=+

（3）先判断出四边形是正方形，设，得出，再设，则，

4

用勾股