166线弹性体系的互等定理48课件讲解.pptx

16.6线弹性体系的互等定理

16.6线弹性体系的互等定理

16.6线弹性体系的互等定理【引言】所谓线弹性体系，指的是变形与荷载成比例关系或线性关系的结构体系。线弹性体系必须满足以下两个条件：第一，结构的变形是微小的，因而在考虑力的平衡时可以忽略结构的变形；第二，材料服从胡克定律，应力与应变成正比。这两个条件也是叠加原理成立的条件，因此对线弹性体系总是可以应用叠加原理的。线弹性体系有四个简单的互等定理：功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理以及反力与位移的互等定理，其中功的互等定理是基本的互等定理，其他三个互等定理都可以从功的互等定理推导出来。本课程后面的章节中将要用到这些定理。

16.6线弹性体系的互等定理一、功的互等定理以如图所示的线弹性体系的两种状态进行介绍：图示简支梁,先在梁上的1点,作用一个静力荷载F1,则梁将产生变形,梁上1点产生位移Δ11。在梁上的静力荷载F1作用达到平衡以后,再在梁上的2点作用另一静力荷载F2,则梁的形状再次改变成如中图所示位置,而梁上1点,在原来位移Δ11的基础上,又增加了新的位移Δ12。根据本章第二节的介绍,有关系：T12=W12

16.6线弹性体系的互等定理上面W12是第一状态的内力在第二状态引起的虚变形上所作的内力虚功，其值为：如果改变上面静力荷载F1与静力荷载F2的加载顺序，即先加载F2，再加载F1，则同样可以得到关系：T21=W21

16.6线弹性体系的互等定理上面W21是第二状态的内力在第一状态引起的虚变形上所作的内力虚功，其值为：比较W12与W21，显然有W12=W21，所以有T12=T21即：第一状态的外力在第二状态相应的虚位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态相应的虚位移上所作的外力虚功，这就是功的互等定理。

16.6线弹性体系的互等定理在这里，应该强调，只要两个状态满足小变形及胡克定理，则由于第一状态与第二状态是彼此独立无关的，所以可以将它们分离开来，如图所示。

16.6线弹性体系的互等定理另外两个状态的力系中所包含的力，都可以是力、力偶或广义力，与之相应的分别是另一个状态中的线位移、角位移和广义位移。如图所示，第一状态作用在1点的是一个集中力，而第二状态作用在2点的是一个集中力偶，但是应用功的互等定理，仍然有：T12=T21即有：F1Δ12=F2Δ21

16.6线弹性体系的互等定理还应指出，第一状态与第二状态都可以分别是一组荷载作用，但是不管哪一组荷载先作用，其内力虚功总是相等的，所以功的互等定理仍然成立，从而有：同时，这一定理同样也适用于超静定结构和有支座移动的情况，只要将支座反力也包括在作功的力系之内，可见本节后面关于反力互等定理和位移与反力互等定理的内容。

16.6线弹性体系的互等定理二、位移互等定理如果将功的互等定理中的两个状态的作用力都为单位力即等于1，则得到如图所示的变形及位移情况。显然，应用功的互等定理：可得：F1?12=F2?21所以有：?12=?21

16.6线弹性体系的互等定理?12=?21即：第一状态的单位力作用点由于第二状态单位力作用所引起的位移,等于第二状态的单位力作用点由于第一状态单位力作用所引起的位移,这就是位移互等定理。在这里，两个状态的单位力，也可以是广义单位力，与之相应的则是广义位移。如图所示，应用功的互等定理，仍然有?12=?21【注】位移互等定理在力法计算超静定结构中被经常应用到。

16.6线弹性体系的互等定理三、反力互等定理如图所示线弹性体系的两个状态。在第一状态中，支座A沿约束1（转动约束）的方向发生单位位移，并引起了相应的支座反力；在第二状态中，支座B沿约束2的方向发生单位位移，并引起了相应的支座反力。对这两个状态应用功的互等定理（公式16－16），可得

16.6线弹性体系的互等定理其中Fr21为支座2由于支座1产生单位位移所引起的反力;Fr12为支座1由于支座2产生单位位移所引起的反力。Fr21或Fr12的第一个下标表示与反力相应的支座约束,第二个下标表示引起反力的原因。由于?1=?2=1，所以有：Fr21=Fr12(16－18)即：第二个约束由于第一个约束发生单位位移所引起的反力，等于第一个约束由于第二个约束发生单位位移所引起的反力。这就是反力的等定理。反力的互等定理将在计算超静定结构的位移法（第18章）中得到应用

第十六章静定结构的位移小结1．本章主要介绍用虚功原理求位移，重点是变形体系的虚功原理。刚体或刚体系的虚功原理可以看成是变形体系虚功原理的特例。如果结构的杆件只发生刚体位移（静定结构由于支座位移而发生的位移就属于这种情况），则