2024年中考数学精讲考点---第2节 三角形的内心和外心.docx

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第2节三角形的内心和外心

【回归教材】

知识清单

知识点1内心、外心的定义及性质

外接圆

内切圆

图形

定义

经过三角形的三个顶点的圆

与三角形各边都相切的圆

圆心

圆心是三角形的外心,三条边垂直平分线的交点

圆心是三角形的内心,三个内角的角平分线的交点

性质

三角形的外心到①

三角形的内心到②

角度关系

∠BOC=2∠A,∠OBC=③

∠BOC=90°+12

判断方法

从三角形中任意选两条边,作它们的垂直平分线,其交点即为三角形的外心

从三角形中任意选两个角,作它们的角平分线,其交点即为三角形的内心

知识点2三角形外接圆、内切圆的作法

外接圆

内切圆

知识点3三角形的外接圆与内切圆半径

1.在Rt△ABC

知识点4三角形外心的位置

锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形外部,直角三角形的外心在斜边的中点处

【参考答案】

①三个顶点的距离相等②三条边的距离相等③∠OCB

自我诊断

1.如图,在4×4的网格图中,A,B,C是三个格点,其中每个小正方形的边长为1,△ABC的外心可能是()

A.M点 B.N点

C.P点 D.Q点

2.如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO的度数为()

A.25° B.50° C.60° D.65°

3.(北师九下P93习题3,8第2题改编)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于()

A.65° B.70° C.75° D.80°

4.(冀教九下P14第2题改编)如图,☉O是△ABC的内切圆,若△ABC的周长为18,面积为9,则☉O的半径是()

A.1 B.2 C.1.5 D.2

【参考答案】

1.D2.D3.B4.A

【真题精粹】

考向三角形的内心和外心

1.(2019·河北10题3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是()

AB

CD

2.(2020·河北14题2分)有一题目:“已知点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为:画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图所示.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是()

A.淇淇说的对,且∠A的另一个值是115°

B.淇淇说的不对,∠A就得65°

C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50°

D.两人都不对,∠A应有3个不同值

3.(2018·河北15题2分)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()

A.4.5 B.4 C.3 D.2

4.(2022·河北16题2分)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其

答案,甲答:d≥2.乙答:d=1.6.丙答:d=2.则正确的是()

A.只有甲答的对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

【参考答案】

1.C2.A3.B4.B

【核心突破】

题型内心与外心相关的计算

例如图,在△ABC中,AC=8,∠A=30°,∠CBA=50°,P为AB边上任意一点(P不与点B,A重合),I为△BPC的内心,则

(1)CP的最小值为.?

(2)∠CIB的取值范围是.?

核心方法

利用内心横向拓展,沟通相关知识

·角平分线(出现相等的角)

·角平分线的性质(出现相等的垂线段)

·全等三角形(出现更多相等的角与相等的线段)

·“内心角”与内角关系∠BIC=90°+∠BAC2

·过内心作一边平行线→两个等腰三角形→截得三角形周长=另两边之和

·到三边距离相等均为内切圆半径r,S△ABC=lr2,l=a+b+c

·m=b+c?a2,n=a+c?b2

思维点拨:

(1)由“垂线段最短”构造直角三角形,利用含有30°角的直角三角形性质求解.

(2)由角平分线定义和三角形内角和定理,可得∠CIB=90°+12

【参考答案】

例(1)4(2)105°∠CIB155°