3.2.1 单调性与最大（小）值（九大题型）.docxVIP

3.2.1单调性与最大（小）值

【题型归纳目录】

题型一：单调性的概念

题型二：函数的单调性的证明

题型三：求函数的单调区间

题型四：利用函数单调性求参数的取值范围

题型五：利用函数单调性的性质解不等式

题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系

题型七：求函数的最值

题型八：抽象函数单调性的证明

题型九：二次函数在闭区间上的最值问题

【知识点梳理】

知识点一、函数的单调性

1、增函数、减函数的概念

一般地，设函数的定义域为，区间

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．

知识点诠释：

（1）属于定义域内某个区间上；

（2）任意两个自变量且；

（3）都有；

（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

上升趋势下降趋势

2、单调性与单调区间

（1）单调区间的定义

如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．

函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

知识点诠释：

①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

④有的函数不具有单调性；

⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

3、证明函数单调性的步骤

（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；

（4）得出结论．

4、函数单调性的判断方法

（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

（4）记住几条常用的结论

①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；

③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．

5、单调性定义的等价形式

（1）函数在区间上是增函数：

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，；任取，且，．

（2）函数在区间上是减函数：

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，；

任取，且，．

6、复合函数单调性的判断

讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：

（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；

（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．

列表如下：

增

增

增

增

减

减

减

增

减

减

减

增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．

因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：

（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；

（2）分别确定各个函数的定义域；

（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．

若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．

知识点诠释：

（1）单调区间必须在定义域内；

（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．

（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．

7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：

（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．

（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．

若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．

（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．

（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．

8、利用函数单调性求参数的范围

若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．

（1）在上恒成立在上的最大值．

（2）在上恒成立在上的最小值．

实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．

知识点二、基本初等函数的单调性

1、正比例函数

当时，函数在定义域R是增函数；当k0时，函数在定义域R是减函数．

2、一次函数

当时，函数在定义域R是增函数；当k0