2024届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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北京市昌平区2024届高三上学期期末质量抽测数学试题

第一部分（选择题共40分）

一?选择题

1.已知全集，集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意全集，集合，.

故选：B.

2.在复平面内，复数和对应的点分别为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意可知：，，

则.

故选：A

3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）

A.y=±2x B.y=

C. D.

【答案】B

【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.

4.已知，则（）

A. B.32 C.495 D.585

【答案】C

【解析】令，可得，解得；

令，可得，

则；

令，可得，

则；

令，，

则.故选：C.

5.下列函数中，在区间上为减函数的是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；

B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；

C选项，在上恒成立，

故在上单调递增，C错误；

D选项，令得，，

在上单调递增，

而在上单调递减，

由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.

故选：D

6.设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（）

A.充分必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，则，

作出函数图象，

，

由图象可知成立，但显然不为减函数；

若为减函数，又，则，

所以“”是“为减函数”的必要不充分条件.

故选：B

7.已知点在圆上，点坐标为为原点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设，因点的坐标为，所以，

则，

设，即，

依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，

即圆心到的距离，解得，

所以的取值范围为，故选：D.

8.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（）

A.9 B.12 C.18 D.36

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知，

不妨设，

由，

所以的周长是.

故选：C

9.已知函数，则（）

A.

B.不是周期函数

C.在区间上存在极值

D.在区间内有且只有一个零点

【答案】D

【解析】对于A，，

所以，

故A错误；

对于B，，

所以是以为周期的函数，故B错误；

对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，

所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；

对于D，令，

得，

所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），

故D正确.故选：D.

10.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）

A. B. C. D.1

【答案】C

【解析】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为正方体棱长为1，，

所以，

不妨设，

所以，

而，

所以点到直线的投影数量的绝对值为，

所以点到直线距离，

等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.

故选：C.

第二部分（非选择题）

二?填空题

11.已知，则__________．

【答案】

【解析】由题知，，

又，所以，

所以.故答案为：

12.抛物线上一点到焦点的距离为8，则点到轴的距离为_______．

【答案】7

【解析】设，抛物线的焦点为，

则由抛物线的定义可得，所以，

故点到轴的距离为7，故答案为：7.

13.已知数列的前项和满足，且成等差数列，则__________；__________．

【答案】

【解析】由数列的前项和满足，

当时，，两式相减可得，

又由成等差数列，所以，即，

解得，所以数列是以2为公比的等比数列，

所以数列的通项公式为.

故答案为：；.

14.若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为__________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】由题知，

当时，递增，

当时，递增，

又在定义域上不是单调函数，

所以，即.

故答案为：（答案不唯一）

15.已知数列．给出下列四个结论：

①；

②；

③为递增数列；

④，使得．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①②④

【解析】根据题意可知，

因为，所以，即①正确；

则，

即，故③错误；

依次递推有，

，

，

，故②正确；

因为，所以，则，依次可知，

所以，故④正确.

故答案为：①②④

三?解答题

16.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，点是中点