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空间向量在立体几何中的应用

1.常见角的范围：

（1）异面直线的夹角：0＜θ≤eq\f(π,2)；（2）直线与平面所成的角：0≤θ≤eq\f(π,2)；

（3）二面角：0≤θ≤π；（4）直线的倾斜角：0≤θ＜π；（5）向量的夹角：0≤θ≤π；

2.空间向量在立体几何中的应用：

3.空间向量与距离的关系：

（1）点到线的距离

如上图，点C为直线AB外一点，则点C到直线AB的距离：

，因为，所以可以求出，进而求出.

（2）点到面的距离

如下图，设直线AB为平面的一条斜线，点A在平面内，点B在平面外，为平面的法向量，设，则.

点B到平面的距离：.

注意：点到面的距离有时也可以用等体积法来求解。另外，由于知道了，所以可以求出的值，进而可以求出点A到直线OB的距离为：；点O到AB的距离：.

（3）线到面的距离

如下图，直线AD平行于平面A1BCD1（直线AD平行于直线A1D1），则直线AD到平面A1BCD1的距离等于直线AD上任意一点到平面A1BCD1的距离（线面距转化为点面距），设为平面A1BCD1的法向量。

所以，直线AD到平面A1BCD1的距离：

或者；

或者或者.

（4）异面直线的距离

如上图（同（3）中的图），直线AD和直线BC为异面直线，直线A1D1平行于直线AD且与直线BC共面，则异面直线AD和直线BC的距离等于直线AD到平面A1BCD1的距离（线线距转化为线面距，线面距再转化为点面距）。所以，异面直线AD和直线BC的距离的求法和直线AD到平面A1BCD1的距离的求法相同。注意：异面直线的距离有时会以求两异面直线最短距离为考查点。

（5）平行直线的距离

如上图，直线AB平行于直线CD，则直线AB和直线CD间的距离等于直线AB上任意一点到直线CD的距离（线线距转化为点线距）。所以，直线AB和直线CD间的距离：

（详见“点到直线距离”的求法）

（6）面到面的距离

如上图，平面平行于平面，，为两平面的法向量，则

平面到平面的距离等于平面内任意一点到平面的距离（面面距转化为点面距）。

注意：二面角的夹角有时可用面积投影法来求解。

所以，平面到平面的距离：.

4.说明：用几何法解立体几何题时，一般是“一作、二证、三计算”，其中“证”是难点，该方法过程繁琐，耗时长，计算量大，但步步紧凑，中间过程不易出错，即使出错（一般是计算出错），仍可以得到很多步骤分。用向量法解立体几何题时，一般是“一建系、二求坐标、三求法向量、四应用公式”，其中建系和求法向量是难点，该方法过程简单，操作方便，思考难度小，但过程中一旦坐标求解出错，几乎全题皆错，得不到任何步骤分。所以，在解立体几何题时，要综合利用几何法和向量法：对于计算简单、辅助线少的题目尽量选用几何法；对于思考难度大、计算复杂的题目则用向量法；有时可以同时使用几何法和向量法。

例1.（2016全国）如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若M、N分别为D、B、AC上的动点，求MN长度的最小值

例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC

变式训练：

1.二面角QUOTEα-l-β为，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面QUOTEα，，

QUOTEAC⊥l，BD⊥l，且QUOTEAB=AC=a，BD=2a，则CD的长为________________

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1QUOTEABCD-A1B1C1D1中，点P在截面QUOTEA1DB

则线段AP的最小值等于_____________

3.如图，在棱长为1的正方体QUOTEABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是线段QUOTECC1，BD、上的点，R是直线AD上的点，满足QUOTEPQ//平面，QUOTEABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，

则QUOTE|PR|的最小值是____________________

4.在平行四边形ABCD中，，。QUOTEBC=2AB=2，∠B=60°，点E是线段AD上任一点(QUOTE(不包含点D)，沿直线CE将QUOTE△CDE翻折成QUOTE△CDE，使在平面ABCE上的射影F落在直线CE上，

则QUOTEAD的最小值是______________

5.正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面所成的角QUOTEθ∈[π3，π2]，且顶点A在平面QUOTEα内，B、C、D均在平面QUOTEα外，则棱BC的中点E到平面QUOTEα的距离的取值范围是___