精品课件-连续信号与系统的频域分析PPT课件.pptxVIP

精品课件-连续信号与系统的频域分析;3.0引言;3.1信号的正交分解;两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零,即;所以最佳系数为;若V1与V2正交,则θ=90°,cosθ=0,此时由式(3.1-2)得到的最佳系数c12=0。这表明当V1与V2正交时,用c12V2来近似表示V1还不如用0来近似V1。据此,我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释如下:

给定两个矢量V1和V2,现在要用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1,要求误差矢量 的模|Ve|最小(此时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0,则V1与V2正交。

由式(3.1-2)可知,当两矢量V1与V2正交时,c12=0,即V1·V2=0。;2.矢量的分解;式中,V1·V2=0。;图3.1-4三维空间矢量的分解;上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间,而正交矢量集{V1,V2,…,Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V,可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合,即;3.1.2信号的正交分解;设f1(t)、f2(t)均为复函数,此时,c12也可能为一复数系数。;式中,“*”代表取共轭复数。将上式右边展开,得;根据该式,;上式中,据平方误差的定义知Ee≥0,式中惟一可供选择的参数为c12。为使Ee最小,只有选择c12=B,于是有;2.信号的正交展开;用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t),即;同样可以导出,欲使平方误差最小,其第r个函数gr(t)的加权系数cr应按下式选取:;定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备的正交函数集,则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合,即;定理3.1-2在式(3.1-14)条件下,平方误差Ee=0,由(3.1-13)式有;3.2周期信号的连续时间傅里叶级数;上述正交三角函数集中,当n=0时,cos0°=1,sin0°=0,而0不应计在此正交函数集中,故一正交三角函数集可具体写为;式中,Ω=2π/T称为基波角频率,a0/2,an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号,且其周期T与三角函数集中各函数的周期T相同,故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。;可得加权系??:;例如,可取t0=0,t0=-T/2等等。显然,an为nΩ的偶函数,bn为nΩ的奇函数,即;例3.2-1求图示信号的傅里叶级数展开式。;解据式(3.2-6),在本题中我们取t0=0,则有;考虑到上式中Ω=2π/T,则an=0。同样可得;据式(3.2-10)有;在式(3.2-6)中,若取t0=-T/2,则有;当f(t)为t的奇函数时,则有f(t)cosnΩt为t的奇函数,f(t)sinnΩt为t的偶函数,因而有:;当f(t)为t的偶函数时,由于f(t)cosnΩt为t的偶函数,f(t)sinnΩt为t的奇函数。据式(3.2-13)有;3.2.2指数形式的傅里叶级数;式中,相关系数Fn;指数傅里叶级数还可以从三角傅里叶级数直接导出。因为cosθ=(ejθ+e-jθ)/2,将这一关系应用于式(3.2-9),并考虑到An是n的偶函数,φn是n的奇函数,即An=A-n,φn=-φ-n,则式(3.2-9)可写为;一般来说Fn亦为一复数,即;3.3周期信号的频谱;3.3.1周期信号的频谱

周期信号的复振幅 一般为nΩ的复函数,因而描述其特点的频谱图一般要画两个,一个称为振幅频谱,另一个称为相位频谱。所谓振幅频谱为以ω为横坐标,以振幅为纵坐标所画出的谱线图;而相位频谱则为以ω为横坐标,以相位为纵坐标所得到的谱线图。在信号的复振幅 为nΩ的实函数的特殊情况下,其复振幅n(Fn)与变量(nΩ)的关系也可以用一个图绘出。;例3.3-1;其余;图3.3-1例3.3-1信号的频谱

振幅谱;

(b)相位谱;图3.3-2例3.3-1信号的双边频谱

(a)振幅谱;(b)相位谱;;为得到该信号的频谱,先求其傅里叶级数的复振幅。;取样函数