专题07 相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）解析版.docx

专题07相似三角形解题模型（考题猜想，7种热考模型）

题型一：A字模型（共8题）

1．（2023秋?锦江区期末）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像高米，塑像的影长米．

（1）求明德楼的高；

（2）求塑像的影长．

【解答】解：（1），米，

米，

由题意得：，

，

，

，

，

解得：，

明德楼的高为12米；

（2）由题意得：，

，

，

，

，

解得：，

塑像的影长为4米．

2．（2023秋?金牛区期末）学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）为，离小李处的小张拿一根高的标杆直立地面，小张离教学楼，此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼的高度．

【解答】解：如图，过点作于点，交于点，

，

，

，

，

，

，

，，

，，

，

，

，

即，

解得，

（米，

答：教学楼的高度为16.6米．

3．（2023秋?晋中期末）小明下学途中遇到一棵大树，于是他想利用现有的长度为的小尺测量这棵树的高度．如图，小明笔直站立，把手臂水平向前伸直，将小尺竖直举起，瞄准小尺的两端，，然后不断调整站立的位置，在点处时恰好能看到该大树的顶端和底部．（图中所有点均在同一平面，点，，在同一条直线上．经测量，小明的手臂长，点到树底端的距离，求大树的高度．

【解答】解：，，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

答：大树的高度为．

4．（2023秋?海门区期末）如图，为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是20米，，两处相隔200米，并且，和在同一平面内．从标杆后退80米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆后退160米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离各是多少米？

【解答】解：由题意得：，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

，

解得：，

山峰的高度为70米，它和标杆的水平距离是200米．

5．（2023秋?大荔县期末）如图，矩形中，，，是边上的点，以为直径的恰好与相切，切点为．

（1）求的半径；

（2）延长交的延长线于点，求的值．

【解答】解：（1）连接，并延长交于点，

与相切于点，

四边形是矩形，

，，，

，

四边形是矩形，

，

，

，

设的半径为，

在中，，

，

，

的半径为；

（2）由（1）得：

四边形是矩形，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

的值为15.6．

6．（2023秋?广安区校级期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度．

【解答】解：由题意得：米，，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

，

解得：，

灯杆的高度为3.8米．

7．（2023秋?莱西市期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：

（1）取何值时，平分；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：，，，，，

是的直径，

，

在中，，

，，

，

，即，

，

，

当时，平分，

，

解得：，

当时，平分；

（2）如图，过点作于点，

，

，即，

，

，，

，即，

，

；

（3）存在某一时刻，使与相切．理由如下：

如图，过点作于点，

由（1）（2）知：，，，，，，

，

，

，

与相切，

，

，

，

，

，即，

解得：，

当时，与相切．

8．（2023秋?市南区期末）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：

（1）当为何值时，；

（2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：，，

，，

，，

，

，

，即，

解得：，

当时，；

（2）存在某一时刻，使得的面积等于6．

理由如下：

过点作于，作于，如图1，

则，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，即，

解得：，，

，

，

当时，的面积