5.1 弧度制及任意角的三角函数-【中职专用】中职高考数学一轮复习（讲）.docxVIP

5.1弧度制及任意角的三角函数

【考点梳理】

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按方向旋转形成的角叫做正角，按方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个．

(2)象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．

①α是第一象限角可表示为{α|2kπα2kπ+eq\f(π,2)，k∈Z}；

②α是第二象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,2)α2kπ＋π，k∈Z))；

③α是第三象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋πα2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；

④α是第四象限角可表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(3,2)πα2kπ＋2π，k∈Z))或{α|2kπ－eq\f(π,2)α2kπ，k∈Z}．

(3)非象限角

如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何一个象限．

①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；

②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋π，k∈Z))；

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；

④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))；⑤终边在x轴上的角的集合可记作{α|α＝kπ，k∈Z}；

⑥终边在y轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))；

⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(kπ,2)，k∈Z))．

(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ,k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}.

2．弧度制

(1)把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))＝eq\f(l,r)，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．

(2)弧度与角度的换算：360°＝rad，180°＝rad，1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad，

反过来1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))≈57.30°＝57°18′.

(3)若圆心角α用弧度制表示,则弧长公式l＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r;扇形面积公式S扇＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(α))r2＝eq\f(1,2)lr．

3．任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r0)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．※cotα＝eq\f(x,y)(y≠0)，secα＝eq\f(r,x)(x≠0)，cscα＝eq\f(r,y)(y≠0)．

(2)正弦、余弦、正切函数的定义域

三角函数

定义域

sinα

R

cosα

R

tanα

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))

(3)三角函数值在各象限的符号

sinαcosαtanα

4．特殊角的三角函数值

角α

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

360°

角α的弧度数

0

eq\f(π,6)

eq\f(π,4)

eq\f(π,3)

eq\f(π,2)

eq\f(2π,3)

eq\f(3π,4)

eq\f(5π,6)

π

eq\f(3π,2)

2π

sinα

0

eq\f(1,2)

eq\f(\r(2),2)

eq\f(\r(3),2)

1

eq\f(\r(3