5.1.2 瞬时变化率——导数（第1课时 曲线上一点处的切线）（同步课件）-2024-2025学年高二数学同步（苏教版2019选择性必修第一册）.pptx

苏教版2019高一数学（选修一）第五章导数及其应用第1课时曲线上一点处的切线5.1.2瞬时变化率——导数

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析

学习目标1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程.

情景导入“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质.

新知探究问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，有何发现？提示当点P附近的曲线不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想.

问题2如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线C的割线，那么当Q逐渐向P靠近时，有何现象出现？提示割线PQ在点P附近越来越逼近该曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，此时称这条直线l为曲线在点P处的切线.

例5已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率.解：设P(2,4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线y＝f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.课本例题

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.课堂练习

解：设点P的坐标为(x0，y0)，当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P的坐标为(3,30).变式2(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________.(3,30)

(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.解：设B(1＋Δx，f(1＋Δx))，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.

【题型一】曲线上某一点处的切线问题?????

?概念归纳

1.已知函数f(x)的图象如图所示，A(x0，y0)在曲线上，x0∈[2,2＋Δx]且Δx无限趋近于0，则在A点处的切线斜率近似为（）答案：C分层练习-基础

答案：C

3.已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx无限趋近于0时，若kPQ无限趋近于－2，则曲线在点P处的切线方程为A.y＝－2x＋1 B.y＝－2x－1C.y＝－2x＋3 D.y＝－2x－2解：根据题意，可知在点P处切线的斜率为－2，所以在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，整理可得y＝－2x－1.答案：B

4.过曲线y＝x2上两点A(2,4)和B(2＋Δx,4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为______.所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1.4.1解：

8当h无限趋近于0时，8＋h无限趋近于8.

6.分别求曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率.当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2x0，故曲线y＝x2在x＝0，x＝－2，x＝3处的切线斜率分别为0，－4,6.

8.已知函数f(x)＝x2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则A.k1k2k3 B.k2k1k3C.k3k2k1 D.k1k3k2答案：A∴k1k2k3.

解：设切点为P(x0，y0)，曲线在点P处的切线斜率为k，当Δx无限趋近于0时，所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.9.在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为_____________.3x－y－11＝0

10.若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝_____.解析：根据题意，分层练习-拓展

∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.11.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2