5.1 任意角和弧度制（八大题型）【含答案解析】.docx

5．1任意角和弧度制

【题型归纳目录】

题型一：角的概念

题型二：终边相同的角的表示

题型三：角所在象限的研究

题型四：象限角的判定

题型五：区域角的表示

题型六：弧度制与角度制的互化

题型七：扇形的弧长及面积公式的应用

题型八：扇形中的最值问题

【知识点梳理】

知识点一：任意角的概念

1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

正角：按逆时针方向旋转所形成的角．

负角：按顺时针方向旋转所形成的角．

零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．

知识点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义．

2、终边相同的角、象限角

终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

知识点诠释：

（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；

（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

（3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍．

3、常用的象限角

角的终边所在位置

角的集合

x轴正半轴

y轴正半轴

x轴负半轴

y轴负半轴

x轴

y轴

坐标轴

是第一象限角，所以

是第二象限角，所以

是第三象限角，所以

是第四象限角，所以

知识点二：弧度制

1、弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．

2、角度与弧度的换算

弧度与角度互换公式：

1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）

3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），

扇形面积公式：．

知识点诠释：

（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．

（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径．

【典型例题】

题型一：角的概念

例1．下列说法中正确的是（????）

A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等

C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A

【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；

选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；

选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；

选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.

故选：A

例2．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，

又分针走过了10分钟，

走过的角度大小为，

综上，分针走过的角度是．

故选：D．

例3．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（）

A．逆时针， B．顺时针，

C．逆时针， D．顺时针，

【答案】B

【解析】由题意可得，设，则

，

解得，

所以射线绕端点顺时针旋转，

故选：B

变式1．下列命题中正确的是（????）

A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系

B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角

C．终边相同的角的弧度制表示相差

D．终边相同的角的弧度都相同

【答案】A【解析】如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系，故A正确，B错误，

终边相同的角的弧度制表示相差的整数倍，故C错误，D错误；

故选：A

变式2．下列说法正确的有几个（????）

（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】第一象限角的集合为，

锐角是大于小于的角，锐角的集合为，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，

故选：C.

变式3．已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（????）

A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D

【答案】D

【解析】因为A={|为锐角}，

D={|为小于的正角}，

对于集合，小于的角包括零角与负角，

对于集合，C={|为第一象限角}，

所以A=D，

故选：D

【方法技巧与总结】

理解与角的概念有关问题的关键

关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正