5．2．2 同角三角函数的基本关系（五大题型）【含答案解析】.docxVIP

5．2．2同角三角函数的基本关系

【题型归纳目录】

题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题

题型三：与关系的应用

题型四：利用同角关系化简三角函数式

题型五：利用同角关系证明三角恒等式

【知识点梳理】

知识点一：同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：

（2）商数关系：

知识点诠释：

（1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立；

（2）是的简写；

（3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．

知识点二：同角三角函数基本关系式的变形

1、平方关系式的变形：

，，

2、商数关系式的变形

，．

【方法技巧与总结】

（1）求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值．

①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；

②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；

③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解．

求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取．

（2）化简题型：化简三角函数式的一般要求是：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的．

（3）证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简．化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式．证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②比较法：即证左边－右边＝0或＝1（右边）．

【典型例题】

题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值

例1．（23·24·湖北·学业考试）已知，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题设.

故选：A

例2．（23·24上·重庆·阶段练习）已知第二象限角的终边过点，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】因为角的终边过点，所以，

所以.

故选：A

例3．（23·24上·定西·开学考试）已知，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，而，

所以.故选：D

变式1．（22·23下·遂宁·阶段练习）若，，则的值为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以；

因为，所以，解得；

因为，所以，所以.

故选：A.

变式2．（22·23下·宜宾·期中）已知，其中，的值为（????）

A．－ B．－ C． D．

【答案】A

【解析】因为为第四象限角，

所以.

故选：A.

变式3．（22·23下·省直辖县级单位·期中）若，且，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由已知可得，，所以，.

由可得，.

故选：B.变式4．（21·22下·黔东南·期中）若，且满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，∴或，

因为，，所以.

由及得，∴，

所以．

故选：A

变式5．（21·22上·临汾·期末）若，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.，所以，，

，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值是.

故选：A.

【方法技巧与总结】

利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：

（1）巧用“1”进行变形，如等．

（2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．

题型二：已知的值，求关于、的齐次式的值问题

例4．（23·24上·奉贤·阶段练习）若，那么．【答案】1

【解析】

故答案为：1

例5．（23·24上·全国·课时练习）若，则.

【答案】

【解析】，，解得：.

故答案为：.

例6．（23·24上·南昌·阶段练习）若，则.

【答案】

【解析】，

.

故答案为：.

变式6．（21·22上·全国·单元测试）已知，则＝.

【答案】

【解析】因，

则，又，

则.

故答案为：

变式7．（22·23·全国·随堂练习）已知，计算：

(1)；

(2)

【解析】（1）因为，所以.

（2）因为，

所以

变式8．（22·23上·商洛·阶段练习）已知，求下列各式值．

(1)

(2)

【解析】（1）的分子和分母同除以得，

解得，

故；

（2）.

变式9．（22·23下·自贡·期中）已知，求下列各式的值.

(1)；

(2)