《数列的极限高数》课件.pptVIP

**************数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数，用字母表示每个数。数列的通项公式可以用来表示数列中每个数与它所在位置的关系。例如：数列1,2,3,4,...的通项公式为an=n。数列的基本性质有界性数列的项在有限范围内波动，不会无限增大或减小。单调性数列的项是递增或递减的，或者存在不变的项。周期性数列的项按照一定规律重复出现，形成循环。数列的收敛与发散1收敛数列当一个数列的项越来越接近一个特定的值时，这个数列就称为收敛数列。这个特定的值被称为数列的极限。2发散数列当一个数列的项无限增大或无限减小时，这个数列就称为发散数列。发散数列没有极限。3判断方法可以使用不同的方法来判断一个数列是收敛还是发散，包括：极限公式、单调收敛性、夹逼定理等。数列收敛的判定单调有界定理如果一个数列是单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该数列收敛。夹逼定理如果两个收敛于同一个极限的数列，夹着一个数列，那么该数列也收敛于同一个极限。柯西收敛准则如果对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当m,nN时，|an-am|ε，那么数列收敛。极限的唯一性如果一个数列收敛，那么它只有一个极限。单调数列的收敛性单调递增数列如果一个数列的每一项都大于或等于前一项，则称此数列为单调递增数列。例如，数列1,2,3,4,5是一个单调递增数列。单调递减数列如果一个数列的每一项都小于或等于前一项，则称此数列为单调递减数列。例如，数列5,4,3,2,1是一个单调递减数列。收敛性单调数列的收敛性是指，当数列的项数趋于无穷大时，数列的值是否趋于一个确定的值。如果趋于一个确定的值，则称数列收敛，否则称数列发散。夹逼定理11.定义夹逼定理是指如果两个数列的极限相等，且一个数列的值始终介于这两个数列之间，那么这个数列的极限也等于这两个数列的极限。22.应用夹逼定理可以用来求解一些难以直接求极限的数列的极限，例如含有三角函数、指数函数的数列。33.条件夹逼定理的使用需要满足以下条件：两个数列的极限存在且相等，且夹逼的数列的值始终介于这两个数列之间。44.实例例如，求解数列an=(sinn)/n的极限，可以使用夹逼定理，因为sinn的值始终介于-1和1之间，且1/n的极限为0，所以an的极限也为0。极限存在的充要条件柯西收敛准则数列收敛的充要条件是：对于任意正数ε，存在正整数N，当m,nN时，有|an-am|ε。单调有界准则单调数列收敛的充要条件是数列有界。极限的四则运算1和的极限两个数列的极限分别存在，则这两个数列的和的极限存在，且等于这两个数列极限的和。2差的极限两个数列的极限分别存在，则这两个数列的差的极限存在，且等于这两个数列极限的差。3积的极限两个数列的极限分别存在，则这两个数列的积的极限存在，且等于这两个数列极限的积。4商的极限两个数列的极限分别存在，且被除数的极限不为零，则这两个数列的商的极限存在，且等于这两个数列极限的商。极限的存在性问题数列的极限存在性问题是高数学习中的重要内容。一个数列是否有极限，取决于它是否收敛。数列收敛是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个确定的值。因此，判断数列是否收敛，也就是判断它的极限是否存在。了解极限的存在性问题有助于我们深入理解数列的性质以及相关定理。极限存在的常用判别法夹逼定理如果两个数列分别收敛于同一个极限，并且另一个数列介于这两个数列之间，那么这个数列也收敛于同一个极限。单调收敛定理如果一个数列是单调递增或递减的，并且有界，那么这个数列一定收敛。比较判别法如果两个数列满足一定条件，那么它们的收敛性是一致的。比值判别法如果一个数列的项的比值收敛于一个常数，那么这个数列的收敛性可以根据这个常数来判断。复习与思考题概念理解回顾数列的概念、性质和极限的概念，确保对这些基础知识的理解。应用练习尝试解决一些与数列极限相关的习题，巩固所学知识。深入思考思考数列极限在实际应用中的意义，并探讨其他相关概念。数列的极限的应用数列的极限在数学分析中有着广泛的应用，可以用来证明函数的连续性、可微性、可积性等重要性质，并可用于研究函数的渐近行为和函数的级数展开等问题。例如，可以用极限的概念来定义导数、积分，并可以用来证明微积分的基本定理。级数的概念级数是指一个无穷项的和。每个项都是一个数，这些数构成一个数列。级数的概念可以用于表示许多数学问题，例如，函数的展开、微积分的计算等。级数的收敛性是指该级数的和是否为有限